Énigmes & Jeux du 14 juillet 2018

Ma tradition du 14 juillet n’est pas encore assez ancienne pour être déjà abandonnée au profit de je ne sais quelle nouveauté à laquelle il faudra bien que je songe un jour. Mais pour l’instant, comme en 2015, 2016 et 2017, j’en reste à mes jeux et mes énigmes. Pas pour vous mettre sur le grill, mais pour vous donner l’incomparable plaisir de pouvoir crier  « Eurêka » !

Chercher et trouver, voir le désordre d’un sac de noeuds se transformer tout naturellement en solution bien ordonnée, voilà un vrai plaisir de vacances qu’on rencontre rarement dans les problèmes de la vie ordinaire.

A ce propos, pour éclairer nos débats publics complexes, j’en profite pour citer à nouveau quelques sites et lectures de vacances hors des sentiers battus. Au menu, réflexions sur la double racine de la République française, introduction au libéralisme, critique de l’écologisme radicalisé et ode à l’analyse factuelle du monde :

Les deux Républiques françaises de Philippe Nemo
Pulp libéralisme de Daniel Tourre
Ecole de la Liberté fondée par Damien Theillier et Emmanuel Martin.
Petit traité d’anti-écologie par le blogueur libéral h16
Factfulness par Hans Rosling

Je vous recommande également mon précédent article sur l’exposition Une histoire du monde en 100 objets du British Museum qui se trouve actuellement (jusqu’au 22 juillet 2018), et pour le première fois en Europe,  au Musée des Beaux-Arts de Valenciennes.

Et maintenant, les jeux. Toutes les solutions seront données ici le mardi 17 juillet. Suivant ma tradition, commençons par des définitions particulières de mots-croisés :

1. Michel Laclos : « Verre solitaire »                                                    (7 lettres)

2. Michel Laclos :
« Se louent bien au-dessus de leur valeur réelle »                          (8 lettres)

3. Georges Perec : « Sa bouche est un regard »                               (5 lettres)

4. Georges Perec : « Parties du taureau et partis du boeuf »       (10 lettres)

5. Robert Scipion :
« Un examen auquel on est sûr de se faire étendre »                    (12 lettres)

6. Michel Laclos :                                                                                    (4 lettres)
« N’a plus de noblesse mais peut avoir encore beaucoup d’élégance »

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PREMIER PROBLÈME : L’énigme d’Einstein

La rumeur veut que cette énigme ait été inventée par Albert Einstein alors qu’il avait 8 ans. Elle est réputée difficile car le physicien aurait dit que seulement 2 % de la population serait capable de la résoudre « de tête ».

Aucun élément précis de la vie ou des déclarations d’Einstein ne vient corroborer tout ceci, mais l’énigme est connue sous ce nom depuis qu’elle est apparue pour la première fois dans Life Magazine en décembre 1962. La solution a été publiée trois mois plus tard avec les noms des lecteurs – plusieurs centaines – qui avaient trouvé la bonne réponse.

Voici l’une des versions possibles de ce casse-tête :

Cinq maisons de cinq couleurs différentes sont alignées le long d’une route. Elles sont habitées par cinq personnes de cinq nationalités différentes qui boivent cinq boissons différentes, fument des cigarettes de cinq marques différentes et possèdent un animal de cinq espèces différentes.

  1. L’Anglais vit dans la maison rouge.
  2. Le Suédois a des Chiens.
  3. Le Danois boit du Thé.
  4. La maison verte est directement à gauche de la maison blanche.
  5. Le propriétaire de la maison verte boit du Café.
  6. La personne qui fume des Pall Mall possède un Oiseau.
  7. Le propriétaire de la maison jaune fume des Dunhill.
  8. La personne qui vit dans la maison du centre boit du Lait.
  9. Le Norvégien habite dans la première maison.
  10. L’homme qui fume des Lucky Strike vit à côté de celui qui a des Chats.
  11. L’homme qui a un Cheval est le voisin de celui qui fume des Dunhill.
  12. Celui qui fume des Bluemaster boit de la Bière.
  13. L’Allemand fume des Marlboro.
  14. Le Norvégien vit juste à côté de la maison bleue.
  15. L’homme qui fume des Lucky Strike a un voisin qui boit de l’Eau.

Question : Qui possède le poisson ?

Précision : Il est possible que la résolution purement « de tête » soit assez difficile compte tenu du nombre élevé de données à manipuler. Mais avec un papier, un crayon, quelques ratures et un tâtonnement de bon aloi permettant d’éliminer les issues absurdes, il n’y a guère de difficulté. J’ai testé pour vous et j’y suis arrivée, c’est vous dire !

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DEUXIÈME PROBLÈME : La combustion des mèches

On dispose de deux mèches et d’un briquet. Chaque mèche se consume totalement en une heure exactement, mais pas forcément de façon régulière.

Question : Comment faire pour mesurer 45 minutes en utilisant seulement ces deux mèches et ce briquet ?

Précisions :

1. « Pas de façon régulière » signifie qu’il n’y a pas proportionnalité entre la durée de combustion et la distance parcourue par la flamme. C’est pourquoi, dans ce problème, la combustion d’une mèche aux trois quarts n’est pas un indicateur précis d’un temps écoulé de 45 minutes.

2. On considère que le temps de l’allumage vaut zéro.

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TROISIÈME PROBLÈME : Interlude Devinettes !

Attention, attention, c’est follement intellectuel !

1. Avec les lettres de mon nom, je peux écrire celui de ma maison. Qui suis-je ?
2. Qu’est-ce qu’on peut briser en un mot ?
3. Quelle est la surface où l’on cherche le rayon pour trouver le volume ?
4. Où un morceau de sucre amoureux d’une petite cuillère lui donne-t-il rendez-vous ?
5. Que faut-il faire quand on se retrouve entouré de 10 vampires ?
6. Comment s’appellent les parents de l’homme invisible ?
7. Quelle est la différence entre un divorce et la grammaire ?
8. Comment s’appelle la femme qui sait toujours où se trouve son mari ?

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QUATRIÈME PROBLÈME
: Le crocodile qui voulait attraper un zèbre

Il n’y a pas qu’en France que les candidats bacheliers pétitionnent frénétiquement quand ils tombent sur un problème, pas forcément très compliqué, qui les déroute complètement. En 2015, c’était les lycéens écossais qui se lamentaient bruyamment de la difficulté d’un certain exercice 8 de leur épreuve de maths deuxième partie. Eux aussi y sont allés de leur petite pétition sur change.org, non sans succès puisqu’ils ont fini par obtenir un réaménagement du barème à leur profit.

Je m’amuse de constater qu’en Écosse en 2015 ou en France en 2018, les doléances sont les mêmes, exprimées presque dans les mêmes termes : les élèves n’ont jamais vu un examen aussi difficile ; ils ont travaillé d’arrache-pied toute l’année et maintenant, ils sont purement et simplement « traumatised » ; quant à l’exercice du crocodile et du zèbre, c’est l’insoutenable goutte d’eau qui fait déborder le vase !

Donc voici l’exercice (voir énoncé original ci-contre). Ce sont des maths. Trente-neuf ans après mon propre bac, j’y suis arrivée sans trop de difficulté après avoir rafraîchi mes connaissances sur la dérivation des fonctions usuelles sur internet.

Enoncé : Un crocodile a repéré un zèbre situé 20 mètres en amont de sa position, sur l’autre rive d’une rivière.

Les crocodiles ne se déplacent pas à la même vitesse dans l’eau et sur terre. Le temps mis par le crocodile pour atteindre le zèbre peut être minimisé s’il nage jusqu’à un certain point P situé sur l’autre rive et distant de x mètres en amont du crocodile comme indiqué sur le schéma.

Le temps T, mesuré en dixièmes de seconde, mis par le crocodile pour rejoindre le zèbre est donné par l’équation :

Questions :        

a) (i) Calculer en combien de temps le crocodile rejoindra le zèbre uniquement à la nage.
a) (ii) Calculer en combien de temps le crocodile rejoindra le zèbre s’il coupe la rivière au plus court.
b) Entre ces deux extrêmes, il existe une valeur de x qui minimise le temps nécessaire. Trouver cette valeur de x et en déduire ce temps minimum.

Indication : Comme je l’ai dit, il va falloir dériver. Ce petit document vous sera peut-être utile !

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CINQUIÈME PROBLÈME
: La mosaïque du Calife

Le Calife de Bagdad veut engager un nouveau Grand Vizir.

Afin de vérifier sa vivacité d’esprit, il lui fait passer l’épreuve du tapis persan (de couleur sombre) qui cache en partie une mosaïque géométrique régulière, comme indiqué sur le schéma ci-contre.

Le Calife dispose alors au hasard sur le tapis 5 carreaux blancs numérotés de 1 à 5 de la taille des mosaïques.

Question :
Le Calife demande au candidat Vizir : Quelles sont les couleurs respectives des mosaïques cachées par les carreaux numérotés de 1 à 5 ?

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+ CURIOSITÉ  NUMÉRIQUE : Palindromes et nombres de Lychrel

Tout comme certains mots et phrases sont des palindromes, ceci voulant dire qu’ils sont symétriques et peuvent donc se lire de gauche à droite et de droite à gauche (exemples : radar, Laval, bob, ressasser), certains nombres entiers naturels, en quantité infinie, ont aussi une forme de palindrome : 121, 38 583, 4 224, etc…

Dans cette vidéo (02′ 40″), Cédric Villani nous parle rapidement des palindromes puis il nous pose une petite colle : Il y a 9 palindromes à 2 chiffres et 90 palindromes à 3 chiffres. Combien y a-t-il de palindromes à 351 chiffres ? Encore un petit problème dont la réponse sera donnée le 19 juillet.

Mais passons aux nombres de Lychrel. Si l’addition d’un entier naturel à l’entier qui lui est symétrique (en base 10) finit par donner un palindrome après une ou plusieurs itérations de la même addition opérée sur le résultat précédent, on dit que ce nombre n’est pas un nombre de Lychrel.

Exemples :

51 :    51 + 15 = 66
→  palindrome  →  51 n’est pas un nombre de Lychrel (1 itération)

67 :    67 + 76 = 143 → 143 + 341 = 484
→  palindrome  →  67 n’est pas un nombre de Lychrel (2 itérations)

59 :   59 + 95 = 154 → 154 + 451 = 605 → 605 + 506 = 1 111
→  palindrome  →  59 n’est pas un nombre de Lychrel (3 itérations)

Pour le fun et le vertige, sachez  que pour le nombre de départ 9 008 299, il faut 96 itérations pour obtenir le palindrome :

!!!  555 458 774 083 726 674 580 862 268 085 476 627 380 477 854 555  !!!

Tout ceci a l’air fort simple. On tombe sur un palindrome au bout d’un certain nombre d’itérations et hop, on peut exclure l’entier des nombres de Lychrel.

Mais tout se complique lorsqu’il s’agit de déterminer à coup sûr si l’on a affaire à un nombre de Lychrel. A vrai dire, la question qui se pose et qui est pour l’instant non résolue est la suivante : les nombres de Lychrel (c’est-à-dire ces nombres théoriques qui n’admettent aucun palindrome) existent-ils ?

Pour l’instant, on ne peut que se livrer à des conjectures. L’entier le plus petit pour lequel on n’a toujours pas trouvé de palindrome malgré un nombre invraisemblablement élevé d’itérations ayant permis à ce jour d’atteindre un résultat comportant 300 millions de chiffres est 196. Il est suivi de 295, 394, 493, 592 etc…

Tout l’enjeu serait de pouvoir démontrer que pour ces nombres à forte conjecture, on ne trouvera jamais de palindrome selon ce processus itératif.

Pour la petite histoire, le terme Lychrel est l’anagramme arrangé du prénom Cheryl de la fiancée du mathématicien Wade VanLandingham qui a beaucoup travaillé sur cette question.

Je vous laisse méditer …
Nous sommes le vendredi 13, ce n’est pas un hasard !

BON  WEEK-END  DU  14  JUILLET  2018
et Rendez-Vous mardi 17 juillet pour les réponses !


Solutions : ICI.


Pieces d'echecsIllustration de couverture : pièces du jeu d’échecs. Photo du site internet le Palais des Echecs.

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