Les énoncés de ces problèmes se trouvent dans l’article Énigmes & jeux du 14 juillet 2021 publié sur ce blog le lundi 12 juillet dernier. Voici toutes les réponses :

DÉFINITIONS  DE  MOTS  CROISÉS

1. CARAMEL
Tristan Bernard : “Fréquente le palais et menace la couronne” (7 lettres)

2. BONNET
Max Favalelli : “La reine d’Angleterre le voit souvent à poil” (6 lettres)

3. MARIONNETTE
Georges Perec : “Ce sont ses fils qui la font vivre” (11 lettres)

4. VEUVE
Tristan Bernard : “Femme de feu” (5 lettres)

5. GOAL
Robert Scipion : “Son idéal est de n’avoir aucun but dans la vie” (4 lettres)

6. MAIN
Roger la Ferté : “N’est baisée que par des hommes du monde” (4 lettres)

7. NAPOLÉON
Michel Laclos : “Insulaire au début et à la fin” (8 lettres)

8. ANAGRAMME
Georges Perec : “Niche pour chien” (9 lettres)

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PREMIER  PROBLÈME : Pentagone et nombre d’or

Solution  : 

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Le  premier indice sur le nombre d’or donné dans l’énoncé nous permet de savoir que les diagonales du pentagone régulier de côté 2 ont pour longueur 2φ. Le second nous permet de déduire que φ2 = φ + 1.

Le triangle hachuré en bleu dans la figure ci-dessous est un triangle rectangle dont les côtés orthogonaux ont pour longueur a et φ et dont l’hypoténuse a pour longueur 2.

D’après le théorème de Pythagore, on a :

a² + φ² = 4, ce qui donne :
a² = 4 – φ²

On remplace φ² par sa valeur :
a² = 4 – φ – 1
a² = 3 – φ

Pour calculer b², on construit le triangle rectangle hachuré en orange dans la figure ci-dessous. La longueur de l’hypoténuse est 2 et les longueurs des deux côtés orthogonaux sont b et (φ – 1) :

D’après le théorème de Pythagore, on a :
b² + (φ – 1)² = 4, ce qui donne :
b² + φ² – 2φ +1 = 4

Comme ci-dessus, on remplace φ² par sa valeur :

b² + φ +1 – 2φ +1 = 4
b² = 2 + φ

Il en résulte que :  a² + b² = 3 – φ + 2 + φ
                                                                                                    soit :  a² + b² = 5
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DEUXIÈME  PROBLÈME : Exercice N° 4 du Brevet de Maths 2021

1.  Avec 4 comme nombre de départ → 4² =16 puis 16 + 3 x 4 = 28 puis 28 – 10 = 18

2.  Avec (-3) comme nombre de départ → (-3)² = 9 puis 9 + 3 x (-3) = 0 puis 0 – 10 = -10

3.  Ligne 5 → Mettre z à y + 3 *              Ligne 6 → Mettre résultat à z – 10

4. a.  Soit y le résultat final du programme de calcul : y = ² + 3 – 10

4. b.  Il faut montrer que le résultat final du programme est aussi égal à ( + 5)( – 2). Développons cette expression et vérifions si elle est bien égale à y :

( + 5)( – 2) = ²  – 2 + 5 – 10 = ² + 3 – 10 = y

4. c.  On cherche tel que le programme de calcul ² + 3 – 10 donne 0 comme résultat final. Cela revient à chercher les tel que :

( + 5)( – 2) = 0

Un produit de facteurs étant nul si l’un au moins des facteurs est nul, on a :

( + 5) = 0  ou  ( – 2) = 0
⇔   = – 5  ou  = 2

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TROISIÈME  PROBLÈME : Découpe de la moquette

Solution : À gauche, la découpe (en rouge) de la moquette en deux morceaux identiques superposables pour recouvrir la pièce (à droite).

     

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Je vous explique comment j’ai procédé :

J’ai découpé un patron de la pièce à couvrir et un patron de la moquette dans du papier quadrillé.

J’avais dans l’idée qu’il fallait parvenir à “écarteler” horizontalement le carré de moquette 10×10 de 2 cases et à le “ratatiner” verticalement d’une case. J’ai commencé par tâtonner pendant un moment, puis j’ai superposé le carré sur le rectangle 12×9 en faisant coïncider leurs angles du bas à gauche. On se retrouvait avec une bande 10×1 du carré qui dépassait au-dessus du rectangle :

   
                                   Pièce et moquette                                                          Superposition

J’ai découpé cette bande inutile là où elle était et je l’ai décalée de 2 cases sur la droite et d’une case vers le bas. Dans cette nouvelle position, elle recouvrait une bande 8×1 de moquette qui ne servait donc à rien. J’ai découpé la bande 8×1 et je l’ai décalée à son tour de 2 vers la droite et 1 vers le bas :

     

Comme la bande 8×1 recouvrait une bande 6×1, j’ai découpé la bande 6×1 et je l’ai décalée comme précédemment, etc. J’ai procédé de même jusqu’à placer une bande 2×1 à droite du mur. 

Puis j’ai découpé la bande 8×1 recouvrant inutilement le mur et, à nouveau, je l’ai décalée de 2 cases à droite et une vers le bas.

J’ai répété l’opération jusqu’en bas de la moquette pour obtenir finalement la couverture voulue (ci-dessous à gauche) par deux morceaux de moquette identiques et superposables (ci-dessous à droite). Dans mon procédé, le second morceau de moquette est découpé en neuf bandes, mais il pourrait tout aussi bien être en un seul morceau :

     

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INTERLUDE  DEVINETTES  !

1. Mon métier, c’est de grossir. Pourtant je ne prends jamais de poids. Qui suis-je ? Une loupe.
2. Plus je suis chaud, plus je suis frais ? Qui suis-je ? Du pain.
3. Je suis à la fin du matin, au début de la nuit, au milieu de la journée, absente du midi, deux fois dans l’année. Qui suis-je ? La lettre N.
4. Nous sommes debout lorsque vous êtes couchés, nous sommes couchés lorsque vous êtes debout. Qui sommes-nous ? Vos pieds !
5. Je suis né muet mais après 40 ans j’ai enfin fini par parler. Qui suis-je ? Le cinéma.
6. Monsieur et Madame Lacouvertureçagratte ont une fille. Comment s’appelle-t-elle ? Sandra.
7. Que dit un zéro quand il rencontre un huit ? Tiens, t’as mis une ceinture aujourd’hui !
8. Exponentiel et Logarithme vont au restaurant. Qui paie ? Exponentiel car logarithme népérien (ne paie rien, ah, ah !).

 

QUATRIÈME  PROBLÈME : Les chaussettes de l’archiduchesse

Solution :

L’archiduchesse doit prendre 3 chaussettes.

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Il n’y a que 4 tirages possibles. Comme il y a seulement deux motifs de chaussettes, elle aura forcément une paire de chaussettes identiques parmi les trois chaussettes tirées :

• motif 1 – motif 1 – motif 1
• motif 2 – motif 2 – motif 2
• motif 1 – motif 2 – motif 2
• motif 1 – motif 1 – motif 2

En tirant seulement deux chaussettes, elle pourrait tomber sur deux motifs différents.

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CINQUIÈME  PROBLÈME : Départs en avion

Solution :

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On commence par inscrire dans le tableau les éléments évidents révélés par les indices 4 et 5. Patrick part à 14 h 00 et la personne partant pour Madrid part à 15 h 00 :

L’indice 3 nous indique que Hugo part 30 minutes avant Vanessa et 1 heure après la personne partant pour Rome. Donc les deux seuls créneaux de départ pour Hugo sont 15 h ou 15 h 30.

→ Si Patrick part à 15 h, alors il va à Madrid, et Vanessa part à 15 h 30. La personne partant pour Rome une heure avant Hugo est Patrick déjà situé à 14 h.

Dans ce cas-là, il reste deux créneaux de départs, 14 h 30 et 16 h, et il est impossible de placer Astrid qui part 30 minutes avant la personne qui part pour Berlin : à 14 h 30, elle partirait 30 minutes avant Hugo qui part à Madrid ; et à 16 h, elle serait la dernière à partir.

→ On en déduit que Patrick part à 15 h 30, Vanessa à 16 h, et que la personne partant pour Rome une heure avant Hugo part à 14 h 30 :

Comme Justine part 30 minutes après la personne partant pour Londres, elle ne peut partir qu’à 14 h 30, ce qui permet de dire que Patrick part à Londres.

Le seul créneau restant pour Astrid est 15 h. Comme l’indice 1 nous dit qu’elle part 30 minutes avant la personne partant pour Berlin, on en déduit qu’Hugo part à Berlin.

Il reste juste à constater que Vanessa part vers la cinquième destination, c’est-à-dire Oslo.
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Très Bon Week-End et à la semaine prochaine !

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Illustration de couverture : Pièces du jeu d’échecs.