Les énoncés de ces problèmes se trouvent dans l’article Énigmes & jeux du 14 juillet 2021 publié sur ce blog le lundi 12 juillet dernier. Voici toutes les réponses :
DÉFINITIONS DE MOTS CROISÉS
1. CARAMEL
Tristan Bernard : “Fréquente le palais et menace la couronne” (7 lettres)
2. BONNET
Max Favalelli : “La reine d’Angleterre le voit souvent à poil” (6 lettres)
3. MARIONNETTE
Georges Perec : “Ce sont ses fils qui la font vivre” (11 lettres)
4. VEUVE
Tristan Bernard : “Femme de feu” (5 lettres)
5. GOAL
Robert Scipion : “Son idéal est de n’avoir aucun but dans la vie” (4 lettres)
6. MAIN
Roger la Ferté : “N’est baisée que par des hommes du monde” (4 lettres)
7. NAPOLÉON
Michel Laclos : “Insulaire au début et à la fin” (8 lettres)
8. ANAGRAMME
Georges Perec : “Niche pour chien” (9 lettres)
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PREMIER PROBLÈME : Pentagone et nombre d’or
Solution :
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Le premier indice sur le nombre d’or donné dans l’énoncé nous permet de savoir que les diagonales du pentagone régulier de côté 2 ont pour longueur 2φ. Le second nous permet de déduire que φ2 = φ + 1.
Le triangle hachuré en bleu dans la figure ci-dessous est un triangle rectangle dont les côtés orthogonaux ont pour longueur a et φ et dont l’hypoténuse a pour longueur 2.
D’après le théorème de Pythagore, on a :
a2 + φ2 = 4, ce qui donne :
a2 = 4 – φ2
On remplace φ2 par sa valeur :
a2 = 4 – φ – 1
a2 = 3 – φ
Pour calculer b2, on construit le triangle rectangle hachuré en orange dans la figure ci-dessous. La longueur de l’hypoténuse est 2 et les longueurs des deux côtés orthogonaux sont b et (φ – 1) :
D’après le théorème de Pythagore, on a :
b2 + (φ – 1)2 = 4, ce qui donne :
b2 + φ2 – 2φ +1 = 4
Comme ci-dessus, on remplace φ2 par sa valeur :
b2 + φ +1 – 2φ +1 = 4
b2 = 2 + φ
Il en résulte que : a2 + b2 = 3 – φ + 2 + φ
soit : a2 + b2 = 5
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DEUXIÈME PROBLÈME : Exercice N° 4 du Brevet de Maths 2021
1. Avec 4 comme nombre de départ → 42 =16 puis 16 + 3 x 4 = 28 puis 28 – 10 = 18
2. Avec (-3) comme nombre de départ → (-3)2 = 9 puis 9 + 3 x (-3) = 0 puis 0 – 10 = -10
3. Ligne 5 → Mettre z à y + 3 * Ligne 6 → Mettre résultat à z – 10
4. a. Soit y le résultat final du programme de calcul : y = 2 + 3
– 10
4. b. Il faut montrer que le résultat final du programme est aussi égal à ( + 5)(
– 2). Développons cette expression et vérifions si elle est bien égale à y :
( + 5)(
– 2) =
2 – 2
+ 5
– 10 =
2 + 3
– 10 = y
4. c. On cherche tel que le programme de calcul
2 + 3
– 10 donne 0 comme résultat final. Cela revient à chercher les
tel que :
Un produit de facteurs étant nul si l’un au moins des facteurs est nul, on a :
( + 5) = 0 ou (
– 2) = 0
⇔ = – 5 ou
= 2
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TROISIÈME PROBLÈME : Découpe de la moquette
Solution : À gauche, la découpe (en rouge) de la moquette en deux morceaux identiques superposables pour recouvrir la pièce (à droite).
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Je vous explique comment j’ai procédé :
J’ai découpé un patron de la pièce à couvrir et un patron de la moquette dans du papier quadrillé.
J’avais dans l’idée qu’il fallait parvenir à “écarteler” horizontalement le carré de moquette 10×10 de 2 cases et à le “ratatiner” verticalement d’une case. J’ai commencé par tâtonner pendant un moment, puis j’ai superposé le carré sur le rectangle 12×9 en faisant coïncider leurs angles du bas à gauche. On se retrouvait avec une bande 10×1 du carré qui dépassait au-dessus du rectangle :
Pièce et moquette Superposition
J’ai découpé cette bande inutile là où elle était et je l’ai décalée de 2 cases sur la droite et d’une case vers le bas. Dans cette nouvelle position, elle recouvrait une bande 8×1 de moquette qui ne servait donc à rien. J’ai découpé la bande 8×1 et je l’ai décalée à son tour de 2 vers la droite et 1 vers le bas :
Comme la bande 8×1 recouvrait une bande 6×1, j’ai découpé la bande 6×1 et je l’ai décalée comme précédemment, etc. J’ai procédé de même jusqu’à placer une bande 2×1 à droite du mur.
Puis j’ai découpé la bande 8×1 recouvrant inutilement le mur et, à nouveau, je l’ai décalée de 2 cases à droite et une vers le bas.
J’ai répété l’opération jusqu’en bas de la moquette pour obtenir finalement la couverture voulue (ci-dessous à gauche) par deux morceaux de moquette identiques et superposables (ci-dessous à droite). Dans mon procédé, le second morceau de moquette est découpé en neuf bandes, mais il pourrait tout aussi bien être en un seul morceau :
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INTERLUDE DEVINETTES !
1. Mon métier, c’est de grossir. Pourtant je ne prends jamais de poids. Qui suis-je ? Une loupe.
2. Plus je suis chaud, plus je suis frais ? Qui suis-je ? Du pain.
3. Je suis à la fin du matin, au début de la nuit, au milieu de la journée, absente du midi, deux fois dans l’année. Qui suis-je ? La lettre N.
4. Nous sommes debout lorsque vous êtes couchés, nous sommes couchés lorsque vous êtes debout. Qui sommes-nous ? Vos pieds !
5. Je suis né muet mais après 40 ans j’ai enfin fini par parler. Qui suis-je ? Le cinéma.
6. Monsieur et Madame Lacouvertureçagratte ont une fille. Comment s’appelle-t-elle ? Sandra.
7. Que dit un zéro quand il rencontre un huit ? Tiens, t’as mis une ceinture aujourd’hui !
8. Exponentiel et Logarithme vont au restaurant. Qui paie ? Exponentiel car logarithme népérien (ne paie rien, ah, ah !).
QUATRIÈME PROBLÈME : Les chaussettes de l’archiduchesse
L’archiduchesse doit prendre 3 chaussettes.
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Il n’y a que 4 tirages possibles. Comme il y a seulement deux motifs de chaussettes, elle aura forcément une paire de chaussettes identiques parmi les trois chaussettes tirées :
- motif 1 – motif 1 – motif 1
- motif 2 – motif 2 – motif 2
- motif 1 – motif 2 – motif 2
- motif 1 – motif 1 – motif 2
En tirant seulement deux chaussettes, elle pourrait tomber sur deux motifs différents.
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CINQUIÈME PROBLÈME : Départs en avion
Solution :
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On commence par inscrire dans le tableau les éléments évidents révélés par les indices 4 et 5. Patrick part à 14 h 00 et la personne partant pour Madrid part à 15 h 00 :
L’indice 3 nous indique que Hugo part 30 minutes avant Vanessa et 1 heure après la personne partant pour Rome. Donc les deux seuls créneaux de départ pour Hugo sont 15 h ou 15 h 30.
→ Si Patrick part à 15 h, alors il va à Madrid, et Vanessa part à 15 h 30. La personne partant pour Rome une heure avant Hugo est Patrick déjà situé à 14 h.
Dans ce cas-là, il reste deux créneaux de départs, 14 h 30 et 16 h, et il est impossible de placer Astrid qui part 30 minutes avant la personne qui part pour Berlin : à 14 h 30, elle partirait 30 minutes avant Hugo qui part à Madrid ; et à 16 h, elle serait la dernière à partir.
→ On en déduit que Patrick part à 15 h 30, Vanessa à 16 h, et que la personne partant pour Rome une heure avant Hugo part à 14 h 30 :
Comme Justine part 30 minutes après la personne partant pour Londres, elle ne peut partir qu’à 14 h 30, ce qui permet de dire que Patrick part à Londres.
Le seul créneau restant pour Astrid est 15 h. Comme l’indice 1 nous dit qu’elle part 30 minutes avant la personne partant pour Berlin, on en déduit qu’Hugo part à Berlin.
Il reste juste à constater que Vanessa part vers la cinquième destination, c’est-à-dire Oslo.
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Très Bon Week-End et à la semaine prochaine !
Merci ! Bon dimanche.
Merci et bon dimanche