Solutions des Énigmes & Jeux du 14 juillet 2018

Les énoncés de ces problèmes se trouvent dans l’article Énigmes & jeux du 14 juillet 2018 publié sur ce blog le vendredi 13 juillet dernier. Voici toutes les réponses : 

Solutions des définitions de mots croisés :

1. MONOCLE
Michel Laclos : « Verre solitaire » (7 lettres)

2. VANTARDS
Michel Laclos : « Se louent bien au-dessus de leur valeur réelle » (8 lettres)

3. ÉGOÛT
Georges Perec : « Sa bouche est un regard » (5 lettres)

4. TESTICULES
Georges Perec : « Parties du taureau et partis du boeuf » (10 lettres)

5. PSYCHANALYSE
Robert Scipion : « Un examen auquel on est sûr de se faire étendre » (12 lettres)

6. ROBE
Michel Laclos :
« N’a plus de noblesse mais peut avoir encore beaucoup d’élégance » (4 lettres)
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PREMIER PROBLÈMEL’énigme d’Einstein

Solution : Le poisson appartient à l’Allemand. Celui-ci boit du café, fume des Marlboro et habite dans la maison n° 4 qui est verte. 

A lire l’énoncé, on comprend qu’on se trouve devant 5 maisons alignées, chacune étant dotée de cinq caractéristiques : couleur de la maison, nationalité de l’habitant,  boisson préférée de l’habitant, marque de cigarette fumée par l’habitant et espèce de son animal de compagnie.

Chaque caractéristique a cinq valeurs possibles, différentes pour chaque maison :
· Liste des couleurs :           Rouge – Vert – Bleu – Blanc – Jaune
· Liste des nationalités :    Anglais – Suédois – Danois – Norvégien – Allemand
· Liste des boissons :           Thé – Café – Lait – Bière – Eau
· Liste des cigarettes :        Pall Mall – Dunhill – Lucky Strike – Bluemaster – Marlboro
· Liste des animaux :            Chien – Oiseau – Chat – Cheval – Poisson

L’énigme consiste donc à remplir le tableau ci-contre avec ces 25 valeurs en s’aidant des 15 indices donnés dans l’énoncé. Leur lecture directe permet de placer Lait (indice 8), Norvégien (indice 9), et Bleu (indice 14) comme indiqué dans le tableau. Pour la suite, il va falloir tester.

L’indice 4 (La maison verte est directement à gauche de la maison blanche) signifie que les couleurs Vert / Blanc (dans cet ordre) correspondent soit aux Maisons 3 et 4 soit aux Maisons 4 et 5, car il n’y a pas deux places à gauche de la maison bleue.

Grâce à l’indice 5 (Le propriétaire de la maison verte boit du café), on déduit que la maison verte ne peut pas être la Maison 3 où l’on sait que l’habitant boit du lait. En conséquence, la Maison 4 est verte et la Maison 5 est blanche.

Les indices 4 et 5 nous permettent donc de placer dans le tableau Vert, Blanc et Café.

Il reste deux possibilités pour placer les couleurs rouge et jaune. La Maison 1 ne peut pas être rouge puisque l’indice 1 nous dit que la maison rouge est occupée par l’Anglais. Or l’on sait que la Maison 1 est habitée par le Norvégien.

On en déduit que la Maison 1 est jaune et la Maison 3 est rouge. On en déduit de plus que l’Anglais habite dans la Maison 3 (indice 1), que le fumeur de Dunhill habite la Maison 1 (indice 7) et que le cheval est dans la Maison 2 (indice 11).

Nous venons donc de placer Jaune, Rouge, Anglais, Dunhill et Cheval dans le tableau.

L’indice 2 nous dit que le Suédois a des chiens. Compte tenu des éléments déjà placés (Norvégien, Anglais et Cheval), il ne peut donc habiter que dans la Maison 4 ou la Maison 5.

Si on le place dans la Maison 4 avec ses Chiens, il reste deux places de nationalités (Maison 2 et 5) : une pour l’Allemand et ses Marlboro (indice 13) et une autre pour le Danois et son Thé (indice 3). Pour voir, plaçons l’Allemand en Maison 2 et le Danois en maison 5.

Dans ce cas, l’indice 12 (L’homme qui fume des Bluemaster boit de la Bière) ne peut être respecté, car ne restent disponibles pour les cigarettes que les cases des buveurs de Lait, Café et Thé.

Si on échange les maisons du Danois et son Thé et de l’Allemand et ses Marlboro, l’indice 12 n’est pas respecté non plus. Il en résulte que l’hypothèse de départ est fausse : le Suédois et ses Chiens n’occupent pas la Maison 4 mais la Maison 5, comme indiqué dans le tableau ci-contre.

En conséquence, le Danois buveur de Thé habite obligatoirement dans la Maison 2, et il reste donc la Maison 4 pour l’Allemand fumeur de Marlboro.

D’après l’indice 15, l’homme qui fume des Lucky Strike a un voisin qui boit de l’eau. Il ne peut donc habiter ni dans la Maison 5 ni dans la Maison 3 pour cause de mauvais buveurs dans les maisons voisines. Il lui reste alors la Maison 2, ce qui permet de placer Lucky Strike en Maison 2 et Eau en Maison 1.

On en déduit Bière en Maison 5 puis Bluemaster également en Maison 5 grâce à l’indice 12 (L’homme qui fume des Bluemaster boit de la Bière), puis Pall Mall en Maison 3 pour compléter la ligne des cigarettes.

L’indice 6 (La personne qui fume des Pall Mall possède un Oiseau) permet de placer Oiseau en Maison 3 et l’indice 10 (L’homme qui fume des Lucky Strike vit à côté de celui qui a des Chats) permet ensuite de placer Chats dans la Maison 1.

Tableau final : Il reste alors une case pour le Poisson. Il appartient à l’Allemand qui fume des Marlboro, boit du Café  et vit dans la maison n° 4 qui est de couleur Verte.

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DEUXIÈME PROBLÈME : La combustion des mèches

Solution : Il faut allumer en même temps la première mèche des deux côtés et la seconde d’un seul côté. On allumera le second côté de cette dernière quand la première mèche sera entièrement consumée.

Comme les mèches brûlent en une heure exactement, il s’est écoulée une demi-heure lorsque la première mèche, allumée des deux côtés, est complètement consumée.

Au moment où cette première mèche s’éteint, la seconde mèche a donc été en partie consumée en 30 minutes. Pour la combustion totale il faut encore attendre 30 minutes. Mais si on allume alors l’extrémité non allumée de la seconde mèche, la combustion totale se fera 15 minutes plus tard, ce qui marquera bien un temps écoulé depuis le début de l’expérience de 45 minutes.

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TROISIÈME PROBLÈME
 : Interlude Devinettes !

1. Avec les lettres de mon nom je peux écrire celui de ma maison. Qui suis-je ? Un chien car ma maison est une niche.
2. Qu’est-ce qu’on peut briser en un mot ? Le silence.
3. Quelle est la surface où l’on cherche le rayon pour trouver le volume ? Une bibliothèque.
4. Où un morceau de sucre amoureux d’une petite cuillère lui donne-t-il rendez-vous ? Dans un café.
5. Que faut-il faire quand on se retrouve entouré de 10 vampires ? Espérer que c’est Halloween.
6. Comment s’appellent les parents de l’homme invisible ? Les Transparents.
7. Quelle est la différence entre un divorce et la grammaire ? En grammaire, le masculin l’emporte sur le féminin.
8. Comment s’appelle la femme qui sait toujours où se trouve son mari ? La veuve.

QUATRIÈME PROBLÈME : Le crocodile qui voulait attraper un zèbre

Réponses : a) (i) 10,4 secondes – a) (ii) 11,0 secondes.
                     b) x = 8 mètres et T(8) = 9,8 secondes.

Le croquis et les explications données dans l’énoncé (à gauche) permettent de réaliser le schéma suivant (à droite). Appelons C le point de départ du crocodile et Z le point où se trouve le zèbre. Les valeurs possibles de x vont de 0 mètre à 20 mètres.

                                                          .

Question a) (i)
Il faut calculer le temps mis par le crocodile pour effectuer le parcours bleu, soit T(20) = 10,4 secondes.

Question a) (ii)
Il faut calculer le temps mis pour effectuer le parcours vert, soit T(0) = 11,0 secondes.

Question b)

L’énoncé nous dit qu’entre ces deux valeurs extrêmes (x = 20 m et  x = 0 m), il existe une valeur de x qui minimise le temps pris T(x). Les minimum et les maximum (et les points d’inflexion avec tangente horizontale) d’une fonction sont ceux qui annulent sa fonction dérivée première. Il faut donc calculer la dérivée T'(x) de la fonction T pour x appartenant à l’intervalle [0 ; 20] pour trouver ensuite le minimum dont nous parle l’énoncé.

On commence par réécrire T afin de la dériver plus facilement. Sachant que √x = x1/2, T(x) devient :

T(x) = 5 (36 + x2)1/2 – 4x + 80

Calcul de la dérivée T'(x)

Appelons F la fonction telle que F(x) = 36 + x2

T peut donc se réécrire : T(x) = 5 [F(x)]1/2– 4x + 80

La fonction dérivée de xn est nxn-1  et la fonction dérivée de F(x) est F'(x) = 2x.
Dans notre cas, n = 1/2 donc n-1 = -(1/2)

Donc la dérivée de la fonction composée [F(x)]1/2 est :  ½[F(x)]-1/2 * F'(x)
(* signifiant la multiplication)

Il en résulte que  T'(x) = (5/2) [F(x)]-1/2  * F'(x) – 4
                                      T'(x) = (5/2)(36 + x2)-1/2  * 2x – 4 

                                                                                
Simplifions l’écriture :   
                                                                   


Cherchons les valeurs de x pour lesquelles T'(x) s’annule

T'(x) = 0  équivaut à :      

 

Mettons tout au carré pour se débarrasser de la racine carrée :
25x2 = 16(36 + x2) soit 25x2 = 576 +16x2

On en déduit facilement que x2 = 576 / 9 = 64.

Sur l’intervalle [0 ; 20] il en résulte que x = 8.

Ceci signifie qu’il n’existe qu’un seul optimum de la fonction T sur l’intervalle [0 ; 20] et que cet optimum est x = 8 mètres.

L’énoncé nous dit qu’il minimise le temps de trajet du crocodile. Calculons ce temps pour x = 8 mètres (parcours rouge). On obtient  T(8) = 9,8 secondes.

Si mes équations vous paraissent un peu arides, je vous recommande la vidéo ci-dessous dans laquelle un prof de maths fort sympathique mais vraiment très écossais explique tout l’exercice au tableau. Charme et clarté de l’accent écossais garantis !

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CINQUIÈME PROBLÈME
: La mosaïque du Calife

Réponse : Le carreau 1 est jaune, le 2 est rouge, le 3 est bleu, et les 4 et 5 sont jaunes.

Il faut repérer le motif général qui se répète de quatre colonnes en quatre colonnes avec alternance régulière de quatre couleurs.

Les colonnes 3 à 6 forment un dessin complet, de même que les colonnes 7 à 10 et 11 à 14. Les deux dernières colonnes (15 et 16) sont raccords avec les deux premières.

On repère ensuite dans quel dessin se trouvent les carreaux numérotés pour en déduire la couleur.

Il n’est pas forcément nécessaire de reconstituer l’ensemble de la partie cachée du tapis, mais la voici quand même, c’est plus simple (schéma ci-dessus).

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+ CURIOSITÉ NUMÉRIQUE :
Palindromes et nombres de Lychrel

Réponse : Il y a 9 x 10175 palindromes à 351 chiffres.

Explications Vidéo (03′ 23″) avec Cédric Villani, Fields 2010.


Bonne journée et à bientôt !


Illustration de couverture : pièces du jeu d’échecs. Photo du site internet le Palais des Echecs.

2 réflexions sur “Solutions des Énigmes & Jeux du 14 juillet 2018

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