Quelques sinusoïdes dominicales personnelles autour des maths et des nombres.
Le mois dernier, le ministre de l’Éducation nationale Jean-Michel Blanquer a confié au mathématicien Cédric Villani, par ailleurs député LREM de l’Essonne, et à l’inspecteur général Charles Torossian une mission sur l’enseignement des mathématiques en France. Il s’agit de trouver comment donner aux enfants le goût des maths, éventuellement en s’inspirant de l’exemple de Singapour qui caracole en tête de toutes les enquêtes internationales sur le sujet (PISA, TIMSS) tandis que la France, malgré ses nombreux médaillés Fields, à commencer par Villani lui-même, y fait pâle figure.
Pour le ministre (vidéo, 12′), nous avons tous un potentiel mathématique qui ne demande qu’à être développé. C’est d’autant plus important aujourd’hui que nous vivons une révolution « numérique » qui, par ses applications toujours plus nombreuses, place les nombres au centre de notre vie quotidienne, même si on ne le voit pas directement.
Aussi, les maths ne doivent pas se cantonner à être l’outil un peu effrayant de la sélection à l’école, mais devenir pratiqués avec gourmandise « pour eux-mêmes et de la bonne façon ». C’est tout le pays qui doit s’imprégner de la culture mathématique indispensable afin que chacun soit en mesure de porter un regard pertinent sur le monde actuel :
« On doit être une grande nation mathématique, non seulement par nos génies mathématiques comme ceux qui ont la médaille Fields ou nos grands ingénieurs qui sont encore nombreux, mais aussi une nation mathématique par l’ensemble de la population. Derrière ça, il y a l’enjeu de la culture numérique de notre population, la culture économique de notre population, etc.. » JM Blanquer, RTL, 19/10/2017.
Tout un programme, surtout en ce qui concerne l’économie, matière dans laquelle les Français ne brillent pas tellement non plus ! Le manque de culture mathématique est certainement en cause, mais on peut aussi incriminer l’empreinte d’un enseignement beaucoup trop limité aux thèses marxistes et keynésiennes. Mais je m’éloigne. Revenons à nos équations.
La médaille Fields (du nom du mathématicien canadien qui a légué ses biens pour doter le prix) est une distinction de haut niveau en mathématiques. Elle a été instituée en 1936 pour combler l’absence de prix Nobel dans cette matière. Une légende prétend qu’Alfred Nobel aurait évincé les maths afin d’écarter du prix un mathématicien avec lequel il se serait trouvé en concurrence amoureuse malheureuse, mais c’est très certainement infondé. Toujours est-il que la médaille Fields récompense tous les 4 ans un maximum de 4 mathématiciens de moins de 40 ans.
Quand on regarde la liste des lauréats, il y a effectivement matière à faire bondir de fierté notre fibre nationale très cartésienne : sur 56 médaillés depuis l’origine, on compte 11 Français. Quant à notre École normale supérieure de la rue d’Ulm, elle est le deuxième établissement de formation représenté après l’université de Princeton aux États-Unis. Cédric Villani, médaillé en 2010, appartient aux deux institutions : il a étudié à Ulm et enseigné à Princeton.
Archimède (scientifique grec du IIIème siècle av. JC) est à l’honneur sur la médaille (voir ci-dessus). Généralement considéré comme le plus grand mathématicien de l’Antiquité, voire de tous les temps, son profil orne l’une des faces tandis qu’un symbole de son traité De la sphère et du cylindre est représenté sur le revers, derrière un rameau de laurier.
Il montre notamment que le rapport entre le volume d’une sphère (plus exactement de la boule délimitée par cette sphère) et celui d’un cylindre de révolution circonscrit à la sphère est de 2/3, et que le rapport entre leurs surfaces est également de 2/3 (cliquer ci-contre et voir schéma ci-dessous).
À beaucoup d’égards, les maths sont comme un jeu de résolution d’énigmes qui demande à la fois de la rigueur et de l’imagination. Mais très vite, on quitte le confort des questions portant sur des objets usuels bien visualisables tels que sphères et cylindres, kilos de pommes de terre ou nombre d’élèves d’une classe, pour entrer dans des zones plus difficilement concevables où s’ébattent nombres irrationnels voire complexes, corrélations, fonctions, calculs différentiels, dimensions multiples, etc.
Or l’un des éléments de décrochage de nombreux élèves au collège est précisément celui d’une abstraction trop précoce, alors qu’un enseignement mené plus longtemps sur la base d’exemples concrets leur permet d’aller plus loin. Pour reprendre la formulation de Cédric Villani :
.@VillaniCedric : « la mathématique est une science de l’abstrait, mais ça ne veut pas dire qu’il faut commencer dès le départ à l’enseigner de manière abstraite »
— Les Matins de France Culture (@Lesmatinsfcult) November 15, 2017
C’est là que la méthode de Singapour intervient. Ainsi que me l’expliquait récemment le directeur de l’école privée hors contrat La Cordée, ce cursus repousse l’abstraction le plus tard possible dans la scolarité en abordant les concepts mathématiques à l’aide de nombreuses manipulations concrètes préalables. En maths, le programme est une chose, mais la méthode, la pédagogie pour y arriver compte aussi, c’est ce que nous explique Cédric Villani dans la vidéo ci-dessous (01′ 21″) :
Les élèves de Singapour sont particulièrement à l’aise en résolution de problèmes. Voici un énoncé correspondant à la classe de CM2, suivi de sa résolution « en barres » typique de la méthode de Singapour. De cette façon, les élèves se font une idée très concrète des quantités qu’ils manipulent et les comparent plus aisément entre elles (vidéo du Point, 02′ 08″) :
« Jean et Paul ont dépensé à eux deux 45 €. Jean et Henri ont dépensé à eux deux 65 €. Sachant que Henri a dépensé trois fois plus d’argent que Paul, combien Jean a-t-il dépensé ? »
Au fond, la méthode de Singapour vise à amener progressivement les élèves à l’abstraction. L’apprentissage des nombres commence par la manipulation d’objets, (cubes, jetons…) que les élèves peuvent compter : c’est l’étape concrète. Ensuite, ils les dessinent sous forme de bâtons ou de points, c’est l’étape imagée. Alors seulement, ils sont en mesure de passer aux nombres entiers naturels un, deux, trois, etc… : c’est l’étape conceptuelle ou abstraite.
Mais finalement, méthode de Singapour ou pas, qu’est ce qu’un nombre ? Que signifient trois, vingt-cinq ou sept cent douze ? Vaste question. Peut-être non résolue, peut-être même sans solution. Selon Henri Poincaré (1854-1912), grand mathématicien français et cousin du Président de la République Raymond Poincaré :
« Il y a de fortes raisons de soupçonner que ceux qui cherchent à justifier l’existence et les propriétés des nombres en utilisent implicitement la notion dans leurs raisonnements. » (cité dans La conversation scientifique d’Etienne Klein sur France Culture, avec Cédric Villani, 3 juin 2017)
Autrement dit, on ne pourrait pas définir les nombres sans les utiliser dans leur propre définition. On serait réduit à un raisonnement circulaire qui se mord la queue, donc qui ne vaut pas. Mais comme le souligne Cédric Villani (photo ci-dessous), Poincaré ne s’intéressait pas tellement à la question des fondements des mathématiques. Les nombres sont là, on les prend tels quels et on avance dans les déductions.
Il n’empêche qu’il existe plusieurs constructions possibles des nombres entiers, dont certaines qui « vous donnent le vertige », pour reprendre l’expression de Cédric Villani. Ce dernier explique dans la même émission que lorsqu’il était en cours de logique à Ulm, on leur a présenté une construction possible « à partir de rien, ou presque rien ; à partir de l’ensemble vide. »
L’ensemble vide est l’ensemble qui ne contient aucun élément. Il faut déjà pas mal d’imagination pour penser un tel ensemble, mais supposons qu’il existe et appelons-le « zéro ». A partir de là, il paraît naturel de définir le 1 par un ensemble comportant 1 seul élément. Quel ensemble choisir ? Pour l’instant on ne dispose que de l’ensemble vide, donc prenons l’ensemble vide comme élément de notre ensemble à un élément. Et ainsi de suite :
« Nous appellerons 2 l’ensemble formé de : l’ensemble vide et de l’ensemble qui contient l’ensemble vide.
Nous appellerons 3 l’ensemble qui contient : l’ensemble vide, l’ensemble qui contient l’ensemble vide et l’ensemble formé de l’ensemble vide et de l’ensemble qui contient l’ensemble vide. » (idem)
C’est tout simple ! Dans cette conception, tous les nombres sont construits à partir du zéro. Du vide mis dans du vide mis dans du vide jusqu’à l’infini, voilà effectivement une perspective à vous donner le tournis et un sérieux mal de crâne.
Il existe cependant une construction beaucoup plus « canonique » qui nous est expliquée notamment par Bertrand Russel dans son livre de 1920 Introduction to Mathematical Philosophy(*) (Introduction à la philosophie mathématique) : le nombre 3 est le nombre de classe de la classe des ensembles à 3 éléments.
« Toutes les collections faites de 3 objets partagent une certaine propriété, et cette propriété, c’est le nombre 3. » (idem)
.
Contrairement à Poincaré, Bertrand Russel (1872-1970) s’intéressait aux fondements des mathématiques. Autant philosophe que mathématicien, il distinguait deux directions opposées dans la pratique des mathématiques. La première, celle des maths « ordinaires », consiste à partir d’une prémisse donnée et à avancer de plus en plus loin en allant de déduction en déduction, tandis que l’autre consiste au contraire à remonter en arrière pour reculer toujours plus les prémisses fondamentales sur lesquelles s’appuyer pour avancer dans les maths ordinaires.
Cette seconde direction, opposée à la pratique traditionnelle des mathématiques est précisément ce qu’on appelle la philosophie mathématique :
« Instead of asking what can be defined and deduced from what is assumed to begin with, we ask instead what more general ideas and principles can be found. (…) It is the fact of pursuing this opposite direction that characterises mathematical philosophy as opposed to ordinary mathematics. »
Au lieu de nous demander ce qu’on peut définir et déduire de ce qu’on prend pour acquis au départ, nous nous demandons quelles idées et quels principes de départ plus généraux peuvent être trouvés . (…) C’est le fait de suivre cette direction opposée qui caractérise la philosophie mathématique par opposition aux mathématiques ordinaires. (Traduction NMP)
.
La suite des nombres 0, 1, 2, 3, 4 … constitue le point de départ habituel des mathématiques « ordinaires » pratiquées par déductions successives par Poincaré et tant d’autre grands mathématiciens tandis que la philosophie mathématique s’occupe de remonter le plus loin possible dans ses fondements, dans une recherche permanente du prémisse naturel ultime sur lequel poser solidement toute la construction ultérieure.
D’où l’importance de la question « Qu’est-ce qu’un nombre ? »
Avec la méthode de Singapour, on commence en douceur. Voici trois jolis cubes en forme de dés : c’est dimanche, vous pouvez jouer avec 🙂
