Énigmes & Jeux du 14 juillet 2019

Pas de Bac ou de Brevet digne de ce nom sans sa pétition nationale dénonçant un sujet trop difficile et réclamant l’indulgence des correcteurs ! Cette année, ce sont l’épreuve anticipée de français des bacheliers des sections S et ES et l’épreuve de mathématiques du Brevet des Collèges qui ont déclenché l’indignation des élèves. C’est simple :

« Le brevet de maths, il était plus chaud que la canicule. » (Twitter) !!!

Quand on vous dit qu’il y a pire catastrophe que le réchauffement climatique en ce bas monde !

Si les bacheliers éplorés qui n’ont pas compris qu’Andrée (avec E) Chedid était une femme ont rapidement été renvoyés à leur nullité sur les réseaux sociaux, les collégiens effrayés par les maths ont trouvé plusieurs oreilles compatissantes, y compris du côté de leurs professeurs.

Selon un enseignant responsable du groupe mathématiques au SNES (Syndicat National des Enseignements de Second degré) l’épreuve était globalement « difficile » et le sixième exercice, particulièrement visé par les lamentations, ne reflétait que le sadisme de l’Education nationale qui se serait « fait plaisir » en concoctant pareil sujet :

« C’est du calcul littéral, nous n’avons pas le temps de les préparer à ce genre de subtilités. »

Plus de QCM, plus de questionnaire Vrai/Faux comme les années précédentes, de quoi dérouter lâchement les élèves !

J’ai pourtant le vague souvenir que développer, réduire et factoriser faisaient partie des grands classiques de 3ème. Comme le souligne un autre enseignant :

« Ils n’ont pas eu à traiter des exercices classiques que l’on a l’habitude de voir durant l’année. C’est un bon sujet cependant, qui s’inscrit dans l’esprit de la réforme du collège. (…) Avec la réforme, on ne demandera plus aux élèves de troisième d’avoir des automatismes mais de développer leur réflexion. »

Sortir des automatismes, développer sa réflexion… Peut-être est-ce là, en effet, ce qui manque à la formation des élèves.

Quoi qu’il en soit, je suis maintenant trop éloignée de la classe de 3ème pour avoir un avis pertinent sur la difficulté de l’épreuve par rapport au programme enseigné pendant l’année.

Mais pour commencer mes traditionnels « Énigmes et jeux du 14 juillet » (ici 201520162017 et 2018), je vous propose de vérifier si nous autres du Blog de Nathalie MP aurions été capable de résoudre brillamment certains des exercices de maths du Brevet. Toutes les solutions seront données ici le samedi 20 juillet 2019 (et non le 17 comme annoncé initialement, affaire Rugy oblige !)

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PREMIER PROBLÈME
: Exercice n° 1 du Brevet de Maths 2019 

Cet exercice est très similaire aux petits casse-tête que j’ai l’habitude de relayer ici. Voici son énoncé :

Le capitaine d’un navire possède un trésor constitué de 69 diamants, 1 150 perles et 4 140 pièces d’or. Le capitaine partage équitablement le trésor entre les marins.

Question : Combien y-a-t-il de marins sachant que toutes les pièces, perles et diamants ont été distribués ?

Indice : L’énoncé du brevet demande d’abord de décomposer 69, 1 150 et 4 140 en produits de facteurs premiers.
Exemple : 2 x 2 x 5 est une décomposition du nombre 20 en un produit de facteurs premiers car 2 et 5 sont tous deux des nombres premiers, c’est-à-dire divisibles uniquement par 1 et par eux-mêmes.

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DEUXIÈME PROBLÈME : Exercice n° 6 du Brevet de Maths 2019 

Il s’agit de l’exercice qui a concentré le plus de plaintes de la part des élèves. D’après le professeur interrogé par Le Figaro, il ne se présentait pas sous une forme traditionnelle car il faisait appel à plusieurs notions différentes du programme de 3ème, mais il était conçu pour inciter les élèves à aller chercher par eux-mêmes les notions pertinentes pour le résoudre.

Voici deux programmes de calcul (cliquez pour agrandir) :

Questions :


Remarque personnelle :
C’est… comment dire ? D’une facilité « déconcertante » ?

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TROISIÈME PROBLÈME : Les 10 soldats

Dans le cadre d’une opération militaire secrète en Iran, un capitaine du Pentagone (ministère de la défense des Etats-Unis) ne dispose que de 10 soldats qu’il doit cependant déployer de façon à obtenir 5 alignements de 4 hommes.

Question : comment le capitaine doit-il disposer ses soldats ?

Indice : il s’est glissé dans l’énoncé !

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QUATRIÈME PROBLÈME : Interlude Devinettes !

Attention, attention, c’est au moins du niveau du Brevet de maths !

1. Je suis entre 188 et 190, mais je ne suis pas 189. Qui suis-je ?
2. Quel mot français contient le plus de « i » ?
3. Je suis à la tête de 25 soldats et sans moi Paris sera pris. Qui suis-je ?
4. J’ai une serrure mais pas de porte. Qui suis-je ?
5. Un fermier a 17 vaches ; elles meurent toutes sauf 9. Combien lui en reste-t-il ?
6. La famille Fünfkind a 5 enfants. La moitié sont des filles. Comment est-ce possible ?
7. Dans quel cas le chien est avant le maitre et l’employé avant le patron ?
8. Quel nombre divisé par lui-même donne son double ?

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CINQUIÈME PROBLÈME : Le gâteau triangulaire

Pour fêter la fin de l’année universitaire, un professeur de mathématiques a décidé d’offrir un gâteau en forme de triangle quelconque à ses étudiants. Le gâteau ne sera donc ni équilatéral, ni isocèle, ni rectangle.

Le professeur passe commande chez le pâtissier en précisant bien les trois longueurs différentes des côtés du gâteau. Comme il est gourmand, il demande un nappage de fraises et de crème Chantilly.

De son côté, le pâtissier confectionne le gâteau désiré et commande à son tour une boîte triangulaire de mêmes mesures afin de protéger le gâteau pendant la livraison.

Or au moment d’emballer la délicate pâtisserie, il se rend compte que les mesures sont correctes mais que la boîte a été livrée dans une forme symétrique par rapport à celle du gâteau, comme indiqué dans le dessin ci-dessus. Il s’agit d’une symétrie axiale qui transforme A en A’, B en B’ et C en C’.

Dans l’impossibilité de retourner le gâteau sens dessus-dessous compte tenu de la garniture de Chantilly et ne voulant pas abîmer la boîte, il téléphone au professeur pour savoir comment découper le gâteau afin de le faire rentrer dans l’emballage. Celui-ci lui répond que c’est extrêmement simple : deux découpes suffiront !

Question : Quelles sont les deux découpes à effectuer pour faire rentrer le gâteau – en morceaux et fraises et chantilly sur le dessus – dans la boîte ?

Indice : Le triangle n’est pas rectangle, mais tout triangle quelconque peut se décomposer en deux triangles rectangles.

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SIXIÈME PROBLÈME : C’est bidon !

Un fermier veut verser exactement 4 litres de lait dans un bidon de 5 litres. Pour ce faire, il n’a à sa disposition que le bidon de 5 litres et un bidon de 3 litres.

Question : Comment doit-il procéder pour avoir exactement 4 litres dans le bidon de 5 litres ?

Remarque : Il existe plusieurs solutions.

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+ CURIOSITÉ  NUMÉRIQUE : La conjecture de Syracuse

Il se trouve que le programme de calcul n° 1 utilisé dans le Brevet de maths de cette année – multiplier un nombre par 3 et ajouter 1 (voir deuxième problème) – fait partie d’une conjecture mathématique célèbre appelée conjecture de Syracuse.

Célèbre, mais néanmoins conjecture, c’est-à-dire non démontrée à ce jour. [Ah, mais voilà pourquoi ce Brevet de maths était si difficile ! 🙂 ]

Voici la recette de la suite de Syracuse :

Prenez un entier naturel non nul. S’il est pair, divisez-le par 2 et s’il est impair multipliez-le par 3 et ajoutez 1. Répétez l’opération avec le résultat obtenu et ainsi de suite.

Exemples : 

Le nombre 14 étant pair, on le divise par 2. On obtient 7 qui est impair, donc on multiplie 7 par 3 et on ajoute 1. On obtient 22 qui est pair, donc on divise par 2 et on obtient 11 qui est impair etc. etc.

Pour 14, on obtient donc :
14 – 7 – 22 – 11 – 34 – 17 – 52 – 26 – 13 – 40 – 20 – 10 – 5 – 16 – 8 – 4 – 2 – 14 – 2 – 1 – 4 – 2 – 1

Pour 15, on obtient :
15 – 46 – 23 – 70 – 35 – 106 – 53 – 160 – 80 – 40 – 20 – 10 – 5 – 16 – 8 – 4 – 2 – 14 – 2 – 1 – 4 – 2 – 1

Une fois que le nombre 1 a été obtenu, la suite 4 – 2 – 1 se répète indéfiniment en un cycle de longueur 3 appelé cycle trivial. Jusqu’à présent, on n’a jamais rencontré de suite de Syracuse qui n’aboutisse pas à 1 puis au cycle trivial.

La conjecture de Syracuse consiste donc à dire que la suite de Syracuse de tout entier naturel non nul atteint 1.

Elle a été validée pour tous les entiers jusqu’à 1,25 x 2662, soit environ 6 milliards de milliards, nombre énorme qui tend à renforcer sa véracité.

Mais malgré l’intérêt qu’elle a suscité chez les mathématiciens depuis que l’Allemand Lothar Collatz (voir photo ci-contre) l’énonça en 1928 et depuis qu’elle fut largement diffusée par le mathématicien Helmut Hasse de l’université américaine de Syracuse (d’où son nom), elle n’a pas été démontrée.

Certains mathématiciens ont même formulé une nouvelle conjecture : la conjecture de Syracuse serait de l’ordre de « l’indécidable ».

Ce n’est pourtant pas faute d’avoir intensément réfléchi au problème. Dans les années 1950 et 1960, c’est-à-dire en pleine guerre froide, les mathématiciens américains des universités de Yale et de Chicago ainsi que les chercheurs de Los Alamos s’y sont même tellement intéressés qu’une plaisanterie se développa sur le fait que cette conjecture était un complot soviétique visant à détourner les scientifiques américains de leurs recherches essentielles !
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Je vous laisse méditer, crayonner et trouver !

BON  WEEK-END  DU  14  JUILLET  2019
et Rendez-Vous samedi 20 juillet pour les réponses !


Solutions : ICI.


Illustration de couverture : Pièces du jeu d’échecs.

14 réflexions sur “Énigmes & Jeux du 14 juillet 2019

  1. Bonjour.

    Je ne suis pas passé visiter depuis quelque temps.

    PREMIER PROBLÈME: Partage équitable.

    (Ça me rappelle ma classe de 5ème en 1975, avec les fameux PGCD et PPCM dont on a stupidement, Édulcoration Nationale oblige, abandonné l’enseignement, après avoir lâché celui des bases – résultat: certains étudiants en informatique sont un peu hermétiques au concept du binaire et son corollaire, l’hexadécimal)

    Ici, très simple, il suffit de repérer, entre 69, 1150 et 4140, le nombre qui semble être le moins factorisable, c’est 69 = 3 x 23.
    23 étant premier, il suffit de vérifier 1150/23=50 et 4140/23=180.

    23 marins recevront chacun 50 perles, 180 pièces d’or et 3 diamants.

    QUATRIÈME PROBLÈME.

    Il me semble me souvenir que le contenu de l’énoncé de ce genre de problème induit en erreur par focalisation sur l’impossibilité initiale.

    Pour les enfants, on évoque la moitié de filles (inconsciemment on instille l’idée que les autres sont des garçons) d’où impossibilité sauf si on s’engage sur le terrain de la théorie du genre, chers à certains.

    Je pense qu’ils ont 5 filles les Fünfkind (fünf mädchen).

    Quel nombre divisé par lui-même donne son double. Si on généralise le raisonnement mathématique, on écrit x/x=2x; par transposition on arrive à 2×2 -x=0, on factorise: x(2x -1)=0. On écarte 0 comme solution, reste 1/2, ce que nous savions d’entrée.

    Il reste 9 vaches.

    Je viens de percuter pour 189 et 190. 189 ET 190: c’est ET qui est entre.

    SIXIÈME PROBLÈME: C’est bidon.

    Un bidon de 5 litres, un de 3 litres.

    1ère solution – laborieuse.

    1) on emplit celui de 3l pour le verser intégralement dans celui de 5;
    n’y restent alors que 2 litres à pouvoir ajouter.

    2) On réitère l’opération avec les mêmes bidons. Le 5 l est plein, ne reste qu’1 litre dans le 3 l.

    3) On vide alors le 5 litres pour transvaser le litre restant du 3 litres dans le 5 litres.

    4) On remplit totalement le 3 litres qu’on ajoute au litre présent dans le 5 litres.

    2nde solution – plus rapide

    1) On emplit celui de 5 l totalement et on en transvase 3 litres dans le 3 l. Restent 2 litres dans le 5 l.

    2) On transvase ces 2 litres du 5 l dans le 3 l préalablement vidé;
    on remplit totalement le 5 litres dont on verse 1 litre dans le 3 l.

    Ceci implique un troisième récipient quelconque
    dans lequel réaliser les vidanges intermédiaires, sinon je ne vois pas; on pourrait jeter de l’eau
    mais pas du lait.

    Je repasserai, à l’occasion, pour finir.

    Merci pour ces petits exercices estivaux et récréatifs.

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  2. DEUXIÈME PROBLÈME

    1)
    5*3=15 ; 15+1=16
    5-1=4 ; 5+2=7 ; 4*7=28.

    2)
    a) A(x)=3x+1
    b) 3x+1=0 ; x= -1/3

    3)
    B(x) = x2 + x – 2

    4)
    a) x2 + x -2 -3x – 1 =x2 -2x – 3 (comme ils ne sont pas censés avoir étudié la résolution des équations du 2nd degré, on évite △). On a une valeur (racine) évidente pour l’équation x2 -2x -3=0, -1. L’autre l’est autant, c’est 3 mais on peut utiliser la division polynomiale.

    soit x2 -2x -3 |x+1
    ___
    -x2 -x | x- 3
    – 3x – 3 |
    3x + 3 |
    0 |

    Soit B(x) – A(x) = (x-3)(x+1)

    b) résoudre 3x+ 1 = (x -1)(x +2) ; x2 +x -2 – 3x -1=0 soit x2 – 2x -3, ce qui nous reporte au a). Les valeurs à choisir sont donc -1 et 3.

    TROISIÈME PROBLÈME.

    J’avoue m’être un peu rongé le crane sur ce coup; votre indice fut donc précieux. L’étoile de la Star Spangled Banner de l’illustration est à 5 branches. Les points (soldats) des alignements sont les sécantes du tracé de cette étoile à main levée.

    Si j’ai le temps, je verrai pour le gâteau. Sinon, à demain pour les solutions.
    C’est tout de même plus joyeux que de commenter les frasques et déboires divers de nos inénarrables gouvernants et élus, malgré la qualité de vos articles.
    Peut-être un billet sur De Rugy.

    Bien à vous.

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  3. Bonjour Madame,

    Je vous propose de réfléchir à ce problème – le résoudre peut-être, y réfléchir surtout.

    Un père célibataire et mathématicien reçoit les sept amis de son fils de huit ans pour fêter son anniversaire à la maison. Il va acheter à la pâtisserie une grande tarte bien appétissante. Autour de la table et en présence des huit garçons, comment peut-il couper la tarte en huit parts égales en seulement trois découpes ?
    Il y a bien une solution, et quelle solution !
    Étonnez-vous après cela que des centaines de milliers d’élèves de chaque classe d’âge (700.000 à 800.000 individus) vomissent les mathématiques et détestent leurs professeurs.

    M’étonne seulement que ces professeurs de mathématiques ne comprennent pas cette détestation.

    Bien cordialement,

    Eric Monard.

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    • facile, on prend la tarte, on la plie en deux, puis on la replie, et une découpe au milieu, une sur chaque bord …j’ai bon ?
      Mais bon, les mathématiques servent à tant de choses …
      Et je suis désolé de voir de jeunes bacheliers incapables de réduire des fractions, sans leur calculette, incapable de calculer une surface simple … je ne pense pas que l’enseignement des notions fondamentales du calcul, de l’arithmétique soient rédhibitoires à ce point !

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    • Je connaissais ce casse-tête, pas avec une tarte, mais avec un gâteau rond épais, homogène et plutôt sec, genre quatre-quarts.
      On coupe une première fois dans la tranche du gâteau afin d’obtenir deux gâteaux superposés de même épaisseur.
      On coupe ensuite les deux gâteux superposés en quatre, soit deux découpes, et cela donne bien 8 parts égales (superposées deux à deux).
      D’accord avec Pheldge pour trouver dommageable que la culture mathématique de base se perde. Sans compter la logique. S’il ne tenait qu’à moi, ce serait non seulement dictée, mais aussi calcul et logique chaque matin à l’école.

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  4. BRAVO à tous les trois :

    Vous nous emmenez, par l’exemple, dans la direction de ce qu’il est d’usage d’appeler l’intelligence collective, ce à quoi je ne m’attendais pas en vous soumettant cette devinette – qui, au passage, n’a rien à voir avec les mathématiques mais tout avec l’esprit de l’enseignement des mathématiques.

    1. BRAVO à PHELDGE :
    A . Votre solution n’est pas la mienne mais elle est parfaitement bonne aussi en ce qu’elle répond exactement à la question.
    Elle prouve aussi que les « problèmes de maths » des professeurs de mathématiques, a fortiori les QCM, sont un carcan pour l’intelligence puisque le présupposé souvent – ou toujours- est qu’il n’y a qu’une bonne réponse. Vous prouvez le contraire brillamment.

    B. Pour visualiser votre réponse, j’ai fait des « travaux manuels » avec un objet ressemblant à une tarte.
    Ceci prouve aussi que les professeurs de mathématiques plongent d’emblée les élèves en position d’échec puisque la démarche qui consiste à tester manuellement – ou à compter sur ses doigts, c’est la même chose – est découragée dans leur enseignement ( à la différence des écoles coréennes qui passent très progressivement du concret à l’abstrait en plusieurs années ; à la différence aussi de ce que l’on voit sur l’excellente vidéo mentionnée par Mildred ci-dessus dimanche 14 juillet 2019 à 20:37. MERCI Mildred !)

    C. Et bravo pour votre humour sur vous-même en réponse à Marchenoir. Qui voudrait d’une tarte crue?

    2. BRAVO à MARCHENOIR :
    A. Votre question est de bon sens, qui manque tant à tous les concepteurs mathématiciens d’énigmes dites mathématiques.

    B. Félicitations pour la concision de la question et l’humour qui tue ! L’humour n’est-il pas d’ailleurs l’une des plus pures formes de l’intelligence ?

    3. BRAVO à NATHALIE MP :
    A. Vous avez trouvé non pas LA solution mais celle à laquelle je pensais – et je dois préciser qu’évidemment je n’ai rien inventé. Je n’ai été ici qu’un colporteur.

    B. Vous avez bien vu que cette solution ne s’appliquait pas à une tarte mais à un gâteau épais et sec pour que les parts restent mangeables et appétissantes.

    4. A TOUS :
    L’enseignement de cette histoire, parmi d’autres enseignements :

    Chacun d’entre nous a touché du doigt la bêtise de nombre d’énigmes dites mathématiques – je me répète. Or les élèves, en dépit de leurs aptitudes plus ou moins précoces à l’abstraction – et habituellement plutôt tardives – les élèves donc ont tous et comme tout le monde un solide bon sens et sont paralysés par les questions qui défient le bon sens et sont donc une insulte à l’intelligence humaine, la leur.

    C’est ce que je voulais dire quand je m’étonnais de l’incompréhension des mathématiciens pour la détestation qu’ils inspirent à l’endroit de leur discipline et d’eux-mêmes.

    5. ET POUR SYNTHÉTISER :

    Est-il possible de dénouer un lacet de chaussure rien qu’en tirant sur un seul de ses bouts, même si c’est un double nœud ?

    Réponse dans :  » Éloge du carburateur : essai sur le sens et la valeur du travail  » de Matthew B. Crawford, aux éditions La Découverte, 2010, page 96, 2ème et 3ème paragraphes. ( Paru en anglais sous le titre  » Shop Class as Soul Craft. An Inquiry into The Value of Work  » )

    Et pour vendre la mèche, voici ce que dit l’auteur au troisième paragraphe :

     » Ce dont parlait mon père [ un chercheur en physique ] c’était un lacet mathématique [« mathématique » en italique dans le texte], un lacet idéal, mais cette idéalisation semblait avoir remplacé l’objet concret dans son esprit obnubilé par je ne sais quel problème théorique  »
    Traduction de Marc Saint-Upéry.

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