Keep calm and love math !

Quelques sinusoïdes dominicales personnelles autour des maths et des nombres.

Le mois dernier, le ministre de l’Education nationale Jean-Michel Blanquer a confié au mathématicien Cédric Villani, par ailleurs député LREM de l’Essonne, et à l’inspecteur général Charles Torossian une mission sur l’enseignement des mathématiques en France. Il s’agit de trouver comment donner aux enfants le goût des maths, éventuellement en s’inspirant de l’exemple de Singapour qui caracole en tête de toutes les enquêtes internationales sur le sujet (PISA, TIMSS) tandis que la France, malgré ses nombreux médaillés Fields, à commencer par Villani lui-même, y fait pâle figure.

Pour le ministre (vidéo, 12′), nous avons tous un potentiel mathématique qui ne demande qu’à être développé. C’est d’autant plus important aujourd’hui que nous vivons une révolution « numérique » qui, par ses applications toujours plus nombreuses, place les nombres au centre de notre vie quotidienne, même si on ne le voit pas directement.

Aussi, les maths ne doivent pas se cantonner à être l’outil un peu effrayant de la sélection à l’école, mais devenir pratiqués avec gourmandise « pour eux-mêmes et de la bonne façon ». C’est tout le pays qui doit s’imprégner de la culture mathématique indispensable afin que chacun soit en mesure de porter un regard pertinent sur le monde actuel :

« On doit être une grande nation mathématique, non seulement par nos génies mathématiques comme ceux qui ont la médaille Fields ou nos grands ingénieurs qui sont encore nombreux, mais aussi une nation mathématique par l’ensemble de la population. Derrière ça, il y a l’enjeu de la culture numérique de notre population, la culture économique de notre population, etc.. » JM Blanquer, RTL, 19/10/2017.

Tout un programme, surtout en ce qui concerne l’économie, matière dans laquelle les Français ne brillent pas tellement non plus ! Le manque de culture mathématique est certainement en cause, mais on peut aussi incriminer l’empreinte d’un enseignement beaucoup trop limité aux thèses marxistes et keynésiennes. Mais je m’éloigne. Revenons à nos équations.

La médaille Fields (du nom du mathématicien canadien qui a légué ses biens pour doter le prix) est une distinction de haut niveau en mathématiques. Elle a été instituée en 1936 pour combler l’absence de prix Nobel dans cette matière. Une légende prétend qu’Alfred Nobel aurait évincé les maths afin d’écarter du prix un mathématicien avec lequel il se serait trouvé en concurrence amoureuse malheureuse, mais c’est très certainement infondé. Toujours est-il que la médaille Fields récompense tous les 4 ans un maximum de 4 mathématiciens de moins de 40 ans.

Quand on regarde la liste des lauréats, il y a effectivement matière à faire bondir de fierté notre fibre nationale très cartésienne : sur 56 médaillés depuis l’origine, on compte 11 Français. Quant à notre Ecole normale supérieure de la rue d’Ulm, elle est le deuxième établissement de formation représenté après l’université de Princeton aux Etats-Unis. Cédric Villani, médaillé en 2010, appartient aux deux institutions : il a étudié à Ulm et enseigné à Princeton.

Archimède (scientifique grec du IIIème siècle av. JC) est à l’honneur sur la médaille (voir ci-dessus). Généralement considéré comme le plus grand mathématicien de l’Antiquité, voire de tous les temps, son profil orne l’une des faces tandis qu’un symbole de son traité De la sphère et du cylindre est représenté sur le revers, derrière un rameau de laurier.

Dans cet ouvrage, Archimède est le premier à donner la façon de calculer l’aire et le volume d’une sphère et d’un cylindre.

Il montre notamment que le rapport entre le volume d’une sphère (plus exactement de la boule délimitée par cette sphère) et celui d’un cylindre de révolution circonscrit à la sphère est de 2/3, et que le rapport entre leurs surfaces est également de 2/3 (cliquer ci-contre et voir schéma ci-dessous).

Archimède était si content de ce travail qu’il demanda à ce que le dessin d’une sphère inscrite dans un cylindre soit gravé sur sa tombe. C’est ce qu’on retrouve sur la médaille Fields.

A beaucoup d’égards, les maths sont comme un jeu de résolution d’énigmes qui demande à la fois de la rigueur et de l’imagination. Mais très vite, on quitte le confort des questions portant sur des objets usuels bien visualisables tels que sphères et cylindres, kilos de pommes de terre ou nombre d’élèves d’une classe, pour entrer dans des zones plus difficilement concevables où s’ébattent nombres irrationnels voire complexes, corrélations, fonctions, calculs différentiels, dimensions multiples, etc.

Or l’un des éléments de décrochage de nombreux élèves au collège est précisément celui d’une abstraction trop précoce, alors qu’un enseignement mené plus longtemps sur la base d’exemples concrets leur permet d’aller plus loin. Pour reprendre la formulation de Cédric Villani :

C’est là que la méthode de Singapour intervient. Ainsi que me l’expliquait récemment le directeur de l’école privée hors contrat La Cordéece cursus repousse l’abstraction le plus tard possible dans la scolarité en abordant les concepts mathématiques à l’aide de nombreuses manipulations concrètes préalables. En maths, le programme est une chose, mais la méthode, la pédagogie pour y arriver compte aussi, c’est ce que nous explique Cédric Villani dans la vidéo ci-dessous (01′ 21″) :

Les élèves de Singapour sont particulièrement à l’aise en résolution de problèmes. Voici un énoncé correspondant à la classe de CM2, suivi de sa résolution « en barres » typique de la méthode de Singapour. De cette façon, les élèves se font une idée très concrète des quantités qu’ils manipulent et les comparent plus aisément entre elles (vidéo du Point, 02′ 08″) :

« Jean et Paul ont dépensé à eux deux 45 €. Jean et Henri ont dépensé à eux deux 65 €. Sachant que Henri a dépensé trois fois plus d’argent que Paul, combien Jean a-t-il dépensé ? »

Au fond, la méthode de Singapour vise à amener progressivement les élèves à l’abstraction. L’apprentissage des nombres commence par la manipulation d’objets, (cubes, jetons…) que les élèves peuvent compter : c’est l’étape concrète. Ensuite, ils les dessinent sous forme de bâtons ou de points, c’est l’étape imagée. Alors seulement, ils sont en mesure de passer aux nombres entiers naturels un, deux, trois, etc… : c’est l’étape conceptuelle ou abstraite.

Mais finalement, méthode de Singapour ou pas, qu’est ce qu’un nombre ? Que signifient trois, vingt-cinq ou sept cent douze ? Vaste question. Peut-être non résolue, peut-être même sans solution. Selon Henri Poincaré (1854-1912), grand mathématicien français et cousin du Président de la République Raymond Poincaré :

« Il y a de fortes raisons de soupçonner que ceux qui cherchent à justifier l’existence et les propriétés des nombres en utilisent implicitement la notion dans leurs raisonnements. » (cité dans La conversation scientifique d’Etienne Klein sur France Culture, avec Cédric Villani, 3 juin 2017)

Autrement dit, on ne pourrait pas définir les nombres sans les utiliser dans  leur propre définition. On serait réduit à un raisonnement circulaire qui se mord la queue, donc qui ne vaut pas. Mais comme le souligne Cédric Villani, Poincaré ne s’intéressait pas tellement à la question des fondements des mathématiques. Les nombres sont là, on les prend tels quels et on avance dans les déductions.

Il n’empêche qu’il existe plusieurs constructions possibles des nombres entiers, dont certaines qui « vous donnent le vertige », pour reprendre l’expression de Cédric Villani (photo ci-contre). Ce dernier explique dans la même émission que lorsqu’il était en cours de logique à Ulm, on leur a présenté une construction possible « à partir de rien, ou presque rien ; à partir de l’ensemble vide. »

L’ensemble vide est l’ensemble qui ne contient aucun élément. Il faut déjà pas mal d’imagination pour penser un tel ensemble, mais supposons qu’il existe et appelons-le « zéro ». A partir de là, il paraît naturel de définir le 1 par un ensemble comportant 1 seul élément. Quel ensemble choisir ? Pour l’instant on ne dispose que de l’ensemble vide, donc prenons l’ensemble vide comme élément de notre ensemble à un élément. Et ainsi de suite :

« Nous appellerons 2 l’ensemble formé de : l’ensemble vide et de l’ensemble qui contient l’ensemble vide.
Nous appellerons 3 l’ensemble qui contient : l’ensemble vide, l’ensemble qui contient l’ensemble vide et l’ensemble formé de l’ensemble vide et de l’ensemble qui contient l’ensemble vide. » (idem)

C’est tout simple ! Dans cette conception, tous les nombres sont construits à partir du zéro. Du vide mis dans du vide mis dans du vide jusqu’à l’infini,  voilà effectivement une perspective à vous donner le tournis et un sérieux mal de crâne.

Il existe cependant une construction beaucoup plus « canonique » qui nous est expliquée notamment par Bertrand Russel dans son livre de 1920 Introduction to Mathematical Philosophy(*) (Introduction à la philosophie mathématique) : le nombre 3 est le nombre de classe de la classe des ensembles à 3 éléments.

Dans la formulation plus littéraire de Cédric Villani, cela donne :

« Toutes les collections faites de 3 objets partagent une certaine propriété, et cette propriété, c’est le nombre 3. » (idem)

.
Contrairement à Poincaré, Bertrand Russel (1872-1970) s’intéressait aux fondements des mathématiques. Autant philosophe que mathématicien, il distinguait deux directions opposées dans la pratique des mathématiques. La première, celle des maths « ordinaires », consiste à partir d’une prémisse donnée et à avancer de plus en plus loin en allant de déduction en déduction, tandis que l’autre consiste au contraire à remonter en arrière pour reculer toujours plus les prémisses fondamentales sur lesquelles s’appuyer pour avancer dans les maths ordinaires.

Cette seconde direction, opposée à la pratique traditionnelle des mathématiques est précisément ce qu’on appelle la philosophie mathématique :

« Instead of asking what can be defined and deduced from what is assumed to begin with, we ask instead what more general ideas and principles can be found. (…) It is the fact of pursuing this opposite direction that characterises mathematical philosophy as opposed to ordinary mathematics. »
Au lieu de nous demander ce qu’on peut définir et déduire de ce qu’on prend pour acquis au départ, nous nous demandons quelles idées et quels principes de départ plus généraux peuvent être trouvés . (…) C’est le fait de suivre cette direction opposée qui caractérise la philosophie mathématique par opposition aux mathématiques ordinaires. (Traduction NMP)

.
La suite des nombres 0, 1, 2, 3, 4 … constitue le point de départ habituel des mathématiques « ordinaires » pratiquées par déductions successives par Poincaré et tant d’autre grands mathématiciens tandis que la philosophie mathématique s’occupe de remonter le plus loin possible dans ses fondements, dans une recherche permanente du prémisse naturel ultime sur lequel poser solidement toute la construction ultérieure.


D’où l’importance de la question « Qu’est-ce qu’un nombre ? »

Avec la méthode de Singapour, on commence en douceur. Voici trois jolis cubes en forme de dés : c’est dimanche, vous pouvez jouer avec 🙂


(*) Introduction to Mathematical Philosophy, Bertrand Russel, Editions Dover Books, 1993, d’après l’édition de 1920.


Illustration de couverture : Classe de mathématiques « Keep calm and love math ! »

10 réflexions sur “Keep calm and love math !

  1. Merci pour cet article passionnant.
    Il faut ajouter également que beaucoup d’élèves ont des problèmes en maths en raison d’un manque flagrant de maîtrise de la langue française, or sans un minimum de syntaxe, de vocabulaire et de grammaire, il devient compliqué de comprendre l’énoncé d’un problème, par exemple ou de s’exprimer, tout simplement.

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  2. Bonjour,

    Cédric Villani est contradictoire.

    En conférence, il expose, avec raison, que les idées naissent dans un environnement décentralisé :

    https://blog.usievents.com/une-premiere-journee-bien-remplie/

    J’en déduis alors qu’il est favorable à la liberté scientifique chère à Michael Polanyi.

    Mais il est également proche des idées socialistes dont l’application entrave l’exercice de la liberté.

    Promouvoir la liberté et,  » en même temps « , s’y opposer, quel comportement incompréhensible et incohérent à mes yeux !

    Par ailleurs, j’ai l’intuition que l’éducation nationale, poursuivant des buts de contrôle et de formation politique des enfants, est au mieux indifférente aux mathématiques, discipline sans idéologie.

    Je suis prêt à parier qu’une école libérée de tout centralisme et affranchie du personnel politique imposant ses préférences contribuerait à améliorer le niveau en mathématiques des élèves français.

    Enfin, un petit bonjour de Montmarte en musique :

    C’est toujours intéressant de lire vos billets.

    A bientôt,

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  3. Ah, les maths…

    Le paradoxe de notre époque est qu’elles sont partout, mais que tout le monde les oublie.
    Vous passez un coup de téléphone ? le signal est codé numériquement, ce sont des maths. Vous suivez votre GPS ? La géolocalisation s’appuie sur la triangulation, donc les propriétés du triangle. Encore des maths.
    Un tunnel VPN sur votre PC, une signature électronique ? Toujours des maths… Idem pour le son cristallin de votre ampli de salon, la forme parfaite du pont qui enjambe le fleuve près de chez vous…
    On peut multiplier les exemples à l’infini, les maths sont partout, dans chacun de nos gestes quotidiens. C’est pourquoi il est si important que tout le monde ait un minimum de culture en la matière, pour comprendre le monde dans lequel on vit, mieux le connaitre, ne pas le subir et en avoir moins peur.

    Mais pour ceux qui s’y intéressent, l’attrait n’est pas là, l’intérêt est esthétique.

    Parce que c’est encore plus beau, lorsque c’est inutile.

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  4. Je me souviendrai toujours de cet élève de 4ème qui était nul en maths. Le jour où la prof a fait une séance de calcul mental, il était toujours le premier à lever la main et à répondre juste.
    Le calcul, c’était du concret ; ça lui parlait. Les « maths modernes » introduites dans l’enseignement à son arrivée en 6ème, c’était trop abstrait et il a décroché.

    Oui, restons concrets le plus longtemps possible ou, au moins, appuyons l’enseignement théorique sur un ou des cas pratiques. En terminale (électrotechnique), le prof de maths et celui de physique (appliquée à l’électrotechnique) avaient coordonné leurs programmes. Lorsque le prof de maths abordait une nouvelle notion, il nous disait : « Vous utiliserez ça dans deux semaines en physique. » On était tous immédiatement beaucoup plus attentifs.

    Soyons concrets aussi dans l’enseignement par rapport à ce qui sera vraiment utile aux futurs adultes. Près de 40 ans plus tard, je sais encore aujourd’hui résoudre une équation du second degré… mais je n’ai jamais eu à le faire dans ma vie professionnelle et encore moins personnelle !
    Par contre, combien d’entre nous sont étonnés du coût total d’un achat à crédit à x% ?
    Combien comprennent instantanément que le « riche » qui paye 10% d’impôt sur un revenu d’un million d’euros est beaucoup plus imposé que le « pauvre » qui en paye 20% sur un revenu de 30 000 ?
    Combien, parmi les moins de 50 ans, sont encore capables de rendre la monnaie sans calculatrice, n’ayant quasiment jamais fait ne calcul mental à l’école ?
    Combien sont capables de calculer la surface d’une pièce ; de calculer combien il leur faut de rouleaux de papier peint, de litres de peinture, de longueur de tissu, de plinthe… sans y passer de longs moments de réflexion angoissante ?

    L’abstraction des maths est aussi dans le fait qu’elles sont partout mais invisibles. On ne pense pas à la sinusoïde du courant électrique quand on branche un appareil sur une prise. Ceux qui ont vraiment besoin d’étudier ça sont d’ailleurs très peu nombreux. Est-il vraiment utile d’enseigner la courbe sinusoïdale à tous les élèves de lycée ou presque (je ne connais pas le détail des programmes aujourd’hui) ? D’autant plus que les ordinateurs calculent tout à notre place.

    Enseignons ce qui est ou sera utile à tous et laissons la spécialisation aux spécialistes.

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    • Savoir ce qu’est une sinusoïde permet de comprendre pourquoi il ne faut pas taper des pieds en cadence quand on est dans une tribune (comme à Furiani) ni pourquoi il ne faut pas parler dans un micro avec le haut-parleur dans le dos (effet Larsen).
      Et puis, la variation de la durée des jours, au fil des saisons, suit une sinusoïde.

      Les maths sont partout.

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  5. Merci NathalieMP pour cet article didactique. Sur le sujet des fondements des mathématiques, je signale le tout petit livre du même titre écrit par Michel Combes et publié chez PUF en 1971. La lecture de cet article alors que j’étais encore lycéen m’a fasciné. La langage est clair et accessible et pourtant les concepts sont particulièrement abstraits.

    Sur le sujet de l’enseignement des maths, les Singapouriens sont *évidemment* dans le vrai. Rien de tel que des applications pratiques pour faire comprendre l’intérêt des maths. Il y a des montagnes de petites histoires qu’on peut raconter aux enfants pour leur faire découvrir les maths. Un exemple bien connu des maçons: le triangle dont les côtés font 3, 4 et 5 m est un triangle rectangle. Quoi de plus simple pour expérimenter le théorème de Pythagore?

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  6. Merci beaucoup pour vos aimables commentaires !

    @ Bertrand : oui, au primaire, l’enjeu c’est bien « lire, écrire, compter » (et respecter autrui, a ajouté le ministre dans la vidéo donné en lien au début). A l’école, l’information arrive essentiellement par le discours écrit ou oral, il est donc impératif de maîtriser la lecture et le langage.

    @ Yé : merci pour la vidéo de la conférence de Villani sur la façon dont viennent les idées. Très intéressant. On voit que dans le domaine des idées aussi, le protectionnisme n’est pas fructueux, contrairement à l’échange. (Merci aussi pour Erik Satie !)
    J’ai l’impression que Villani ne sera pas le premier scientifique à avoir des notions politiques assez approximatives.
    Pour ma part je regrette que toutes les bonnes idées de JM Blanquer n’aillent pas jusqu’à fendre une brèche dans le monopole de l’Education nationale afin de laisser naître des initiatives pédagogiques adaptées à toutes sortes d’élèves.

    @ Le Gnôme : Moi, c’est tout le contraire, j’ai toujours aimé ça, et d’ailleurs c’est le côté abstrait qui me plaît. En maths, pas de frottements, pas de CNTP, mais des raisonnements parfaits qui se succèdent implacablement à partir d’hypothèses. Un monde presque trop beau.
    Mais c’est peut-être aussi une question de prof.

    @ Royaumont @ Philippe Leménager : En effet, les maths sont partout dans notre quotidien.
    Un autre aspect de l’enseignement des maths, c’est d’apprendre les ordres de grandeur, ce qui permet de faire le tri entre l’urgent et le non-urgent, l’important et le non-important. Dans le travail, j’ai souvent eu l’occasion de voir des personnes se donner autant de mal pour un problème périphérique ou insignifiant que pour un travail important et de fort impact.

    @ Philippe Leménager : ma fille (elle a 20 ans aujourd’hui) était un peu comme votre élève de 4ème : vous lui disiez « maths », c’était la catastrophe. Vous lui soumettiez le même problème (sans parler de maths) mais sous-tendu par une question concrète (gestion de repas dans une cantine ou autre) et là, c’était une tout autre élève.

    @ fm06 : merci pour la lecture de Combès !
    Quant à la méthode de Singapour, c’est une bonne nouvelle de voir que l’Ed Nat s’y intéresse autrement que pour dire que les élèves asiatiques vivent une pression épouvantable. Blanquer arrive à faire bouger des choses, mais comme je le disais plus haut, dommage que ça n’aille pas jusqu’à démonopoliser.

    @ Tous : Sur les enseignements hors « cadre » vous pouvez lire mon petit reportage sur l’Ecole La Cordée.

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  7. Bien sûr, il convient de faire la promotion des maths, et d’exploiter notre avantage naturel dans cette discipline.

    J’aimerais mettre un bémol, à mon habitude : tout cela est bel et bon, à condition de ne pas sombrer dans le systématisme si français consistant à dire : yfô que tout le monde soit bon en maths, yfô que tout le monde apprenne le secourisme et le code de la route, yfô que tout le monde apprenne le « code informatique » (c’est la lubie du moment), yfô qu’il y ait des femmes dans l’industrie numérique, etc.

    Non, il ne faut rien du tout. Tout le monde ne peut pas avoir l’aptitude aux mathématiques, de même que tout le monde ne peut pas être énarque, agrégé, prix Goncourt, blogueur libéral ou même plombier.

    Il est possible que la « méthode de Singapour » soit bonne. Mais il est certain que les races de l’Asie du Sud-Est nous sont supérieures dans les matières mathématiques et scientifiques, comme cela est évident à l’observation des effectifs, et des résultats, des universités américaines (et comme c’est confirmé par la science).

    Le quotient intellectuel des « Chinois » (appellation non scientifique) est de 110. Le nôtre (celui des Blancs, des Européens) est de 100, et il est d’ailleurs en train de baisser, très certainement en raison de l’immigration de populations moins intelligentes. Cet écart est irrattrapable, du moins à l’échelle historique. Sachons exploiter nos atouts du mieux que nous pouvons, c’est le mieux que nous puissions espérer.

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  8. J’ajoute ce corollaire évident : si le gouvernement voulait vraiment promouvoir l’enseignement des mathématiques en France, il mettrait immédiatement fin à l’immigration de populations ayant un QI moyen de 80 (Afrique du Nord), voire 70 (Afrique noire). Il est tout simplement impossible d’avoir l’aptitude aux mathématiques avec un tel QI. S’il y a une activité humaine où les capacités sont étroitement corrélées au quotient intellectuel, ce sont bien les mathématiques, et plus généralement les sciences dures.

    Evidemment, en important de telles populations, on s’assure d’avoir besoin ad vitam aeternam de « grand plans Marshall » pour promouvoir l’aptitude aux maths et aux sciences, décidement méprisées chez nous pour des raisons tout à fait mystérieuses. Ce qui assure, simultanément, de juteuses sinécures aux tripotées de fonctionnaires (et d’hommes politiques) chargés de nous concocter ces grands plans, et de se pencher sur ces douloureux problèmes.

    Postes de fonctionnaires qui, à leur tour, fourniront des « débouchés » tout indiqués pour ces populations, le niveau d’exigence dans le « secteur public » étant, disons, ajustable à volonté, contrairement à l’entreprise privée où il est plus difficile de tricher sur sa valeur réelle… et c’est pareil pour les maths.

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