Les énoncés de ces problèmes se trouvent dans l’article Énigmes & jeux du 14 juillet 2017 publié sur ce blog le mercredi 12 juillet dernier. Voici toutes les réponses : 

Solutions des définitions de mots croisés :

1. DIAMANTAIRE
Tristan Bernard : « Suit le cours des rivières » (11 lettres)

2. PIANO
Tristan Bernard : « Moins cher quand il est droit » (5 lettres)

3. NOTAIRE
Tristan Bernard : « Arrive souvent au dernier acte » (7 lettres)

4. UEM
Georges Perec : « Emu et bouleversé » (3 lettres)
Il y a 4 autres solutions selon la disposition de la grille d’origine (UME, EUM, MUE et MEU). C’est ce qu’on appelle une « cheville », c’est-à-dire un groupe de lettres sans signification. Il importe alors de trouver une définition élégante. Exemple : pour le groupe de lettres REL, voici une définition « élégante » : « Eve le remettrait sur pieds » because « Rel-ève » !

5. BLANCHE NEIGE
Robert Scipion : « Héroïne pure » (12 lettres)

6. ATTILA
Georges Perec : « Premier désherbant connu » (6 lettres)
Explication : Attila (395-453), redoutable Roi des Huns, disait « Là où je passe avec mon cheval, l’herbe ne repousse pas » !
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PREMIER PROBLÈME : L’anniversaire de Cheryl

Solution : L’anniversaire de Cheryl est le 16 juillet.

Cheryl dit à Albert le mois de son anniversaire, donc mai, juin, juillet, ou août.

Cheryl dit à Bernard le numéro du jour, donc 14, 15, 16, 17, 18 ou 19 (voir tableau).

Albert ignore ce que Cheryl a dit à Bernard qui ignore ce que Cheryl a dit à Albert. L’un et l’autre ne disposent que de 2 informations : la liste des 10 dates et le mois (pour Albert) ou le numéro du jour (pour Bernard).

· Tout d’abord, Albert dit qu’il ne connait pas la solution, mais en se basant sur les 2 informations qu’il a et celles-là seulement (le mois et la liste des 10 dates) il dit aussi qu’il sait que Bernard ne la connaît pas non plus. Qu’est-ce qui lui donne cette certitude ?

Il y a deux cas et deux cas seulement dans lesquels Bernard pourrait savoir immédiatement la date d’anniversaire de Cheryl : si elle lui avait confié la date du 18 ou la date du 19. Pour le 18, Bernard en déduirait sans difficulté que l’anniversaire est le 18 juin, puisque le numéro 18 n’apparaît qu’en juin dans la liste des 10 dates. Pour le 19, il en déduirait de la même façon que l’anniversaire est le 19 mai.

Albert est en mesure de savoir que Bernard ne peut pas faire ces déductions uniquement dans le cas où Cheryl ne lui a parlé ni de mai ni de juin.

· Au départ, Bernard ne connaissait pas non plus la solution, mais à entendre Albert parler, il en déduit, et nous en déduisons avec lui, que le mois d’anniversaire est juillet ou août. Bernard dit alors que maintenant il connait la solution. De quelle solution s’agit-il ?

Si Cheryl lui avait dit que son anniversaire tombait le 14, Bernard n’aurait pu savoir quel mois choisir entre juillet et août puisque la date du 14 est possible pour les deux mois. On en déduit que Cheryl lui a dit 15 (ce qui implique 15 août comme date d’anniversaire), ou 16 (donc 16 juillet) ou 17 (donc 17 août).

· Ayant entendu Bernard dire qu’il connaissait maintenant la bonne réponse, Albert en déduit aussi que le numéro du jour doit être 15, 16 ou 17. Comme il dit maintenant qu’il  connaît la date, nous en déduisons qu’Albert a été instruit du mois de juillet car s’il avait été instruit du mois d’août, il n’aurait pas pu distinguer entre le 15 et le 17 (voir à nouveau le tableau ci-dessus).

Conclusion : l’anniversaire de Cheryl est donc le 16 juillet. Le Guardian a trouvé la même chose, youpi !

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DEUXIÈME PROBLÈME : Le serpentin de calculs

Ma solution :
Voir dans tableau ci-contre (il y en a des dizaines d’autres).
Variantes : on peut commuter les valeurs de a et d et les valeurs de g et h.

Le Guardian a trouvé :
a=3 ; b=2 ; c=1 ; d=5 ; e=4 ; f=7 ; g=9 ; h=8 ; i=6 .

Le site techniques-ingenieurs.fr a trouvé la même chose, à deux commutations près : a=5 ; b=2 ; c=1 ; d=3 ; e=4 ; f=7 ; g=8 ;  h=9 ; i=6 .

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Pour faire cet exercice « à la main » (sans programmation), il faut d’abord attribuer aux 9 cases vides 9 inconnues a, b, c, d, e, f, g, h et i (voir tableur ci-contre).

On commence en haut à gauche et on suit le serpent. On sait que ces inconnues doivent prendre chacune une valeur entière différente allant de 1 à 9 inclus.

On peut ensuite réécrire le serpentin en une jolie équation que voici :
a + 13 x b / c + d + 12 x e – f – 11 + g x h / i – 10 = 66

Pour éclaircir l’affaire, on peut réarranger le tout de la façon suivante :
a + d – f + 13 x b / c + 12 x e + g x h / i = 66 + 11 + 10 = 87

Je place des parenthèses sans signification mathématique mais utiles pour bien identifier mes 4 paquets de calculs :

(a + d – f) + (13 x b / c) + (12 x e) + (g x h / i) = 87

On doit obtenir 87 en additionnant les valeurs des 4 paquets. Les inconnues du deuxième et du troisième paquet étant multipliées respectivement par 13 et 12, on va s’efforcer de ne pas trop faire monter leur valeur.

Une fois qu’on a dépatouillé tout ça, on peut rentrer la formule dans Excel et commencer à tester des solutions. Il faut bien commencer quelque part : j’ai pris le parti d’attribuer 2 à e pour que le paquet (12 x e) ne soit pas trop gros par rapport à 87.

Pour (13 x b / c), compte tenu du facteur 13 qui est premier, j’ai été au plus simple en testant d’abord c = 1. 1 et 2 étant déjà pris, j’ai ensuite attribué 3 à b pour que la valeur de ce paquet reste basse.

Ainsi, avec b = 3, c = 1 et e = 2, on a : (12 x e) = 24 et (13 x b / c) = 39.
L’équation devient :   (a + d – f) + 39 + 24 + (g x h / i) = 87   ou   (a + d – f) + (g x h / i) = 24

Il reste alors à attribuer les nombres 4 à 9 aux six lettres restantes.

Au total, j’ai tâtonné pendant environ 1 heure, augmentant la valeur de tel paquet, baissant celle de tel autre etc… en veillant bien à utiliser tous les nombres de 1 à 9.

Dans la solution du Guardian, le journaliste prend le parti de se débarrasser des nombres premiers 3, 5 et 7 (non divisibles sauf par 1 – et par eux-mêmes, ce qui ne nous intéresse pas) en les attribuant aux lettres isolées du paquet (a + d – f).

Trouver 100
Une solution possible :        1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 x 9  = 100  ===>  (28 + 72 = 100)
Autre solution possible :    (1 + 2 + 3 + 7 + 9)  x 5 + 4 – 6 – 8 = 100  ===>  (22 x 5 – 10 = 100)

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TROISIÈME PROBLÈME : Interlude Devinettes !

1. Comment cuire des carottes sans chauffer ? On met 9 carottes dans une casserole, puis on en enlève une ; ainsi, les carottes sont plus qu’huit !
2. Comment appelle-t-on un gendarme sur un tracteur ? Un poulet fermier.
3. Qu’est-ce qui est rose et dur en rentrant, et chaud et mou en ressortant ? Un malabar.
4. Comment appelle-t-on un boomerang qui ne revient pas ? Un bout de bois.
5. Quel est le plat préféré des cannibales ? Un croque-monsieur.
6. Un éléphant rentre dans un bar. Que prend-il ? De la place.
7. Je reste dans mon lit mais je ne dors pas. J’ai des lacets mais pas de chaussure. Je coule mais je ne me noie pas. Qui suis-je ? Une rivière.
8. Grâce à moi elle est belle. Qui suis-je ? La lettre B.

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QUATRIÈME PROBLÈME : A la recherche du faux diamant

Réponse : Il faut séparer le lot des 9 diamants en 3 lots de 3 diamants.

· Première pesée : Vous placez 3 diamants sur un plateau de la balance et 3 diamants sur l’autre plateau. Il reste encore 3 diamants en dehors de la balance.

1^er cas : Les 2 plateaux sont parfaitement équilibrés, les 2 lots pesés ont donc la même masse, on en déduit que le faux diamant n’est pas dans l’un de ces deux lots. Il est donc forcément parmi les 3 diamants qui n’ont pas été pesés et il va falloir l’identifier avec une seconde pesée.

Second cas : Les 2 plateaux ne sont pas équilibrés. Un lot pèse moins que l’autre donc le faux diamant appartient à ce lot plus léger. Comme ci-dessus, il va falloir l’identifier dans ce lot à l’aide d’une seconde pesée.

La première pesée a donc permis de savoir dans quel lot de 3 diamants se trouve le faux diamant.

· Seconde pesée : On procède de même que précédemment, mais avec un seul diamant sur chaque plateau et un diamant qui reste en dehors.

1^er cas : Les 2 plateaux sont équilibrés, les 2 diamants pesés sont donc vrais. En conséquence, le faux diamant est celui qui n’a pas été pesé.

Second cas : Les 2 plateaux sont déséquilibrés : le faux diamant est donc le plus léger des deux diamants pesés.

CINQUIÈME PROBLÈME : Les fausses pièces d’or

Réponse : Il faut numéroter les sacs de 1 à 10, puis peser ensemble 1 pièce du sac 1, 2 pièces du sac 2, 3 pièces du sacs 3, 4 pièces du sac 4 etc… jusqu’à 10 pièces du sac 10. On pèse donc 55 pièces (1 + 2 + 3 + … + 10).

Si toutes les pièces étaient vraies, c’est-à-dire si elles pesaient toutes 1 g, la masse affichée des 55 pièces serait 55 g.

Si le sac de pièces fausse est le sac 1, la masse affichée sera : 54 g + 2 g = 56 g.
On pèse 1 pièce fausse à 2 g et 54 pièces vraies à 1 g.

Si le sac de pièces fausses est le sac 2, la masse affichée sera : 53 g + 4 g = 57 g.
On pèse 1 pièce vraie du sac 1 soit 1 g, 2 pièces fausses du sac 2 soit 4 g et 52 pièces vraies des 8 autres sacs soit 52 g.

Si le sac de pièces fausses est le sac   3, la masse affichée sera : 52 g + 6 g = 58 g.
Si le sac de pièces fausses est le sac   4, la masse affichée sera : 51 g + 8 g = 59 g.
Etc …
Si le sac de pièces fausses est le sac 10, la masse affichée sera : 45 g + 20 g = 65 g

Bonne journée et à bientôt !

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Illustration de couverture : pièces du jeu d’échecs. Photo du site internet le Palais des Echecs.