Les énoncés des problèmes du 14 juillet 2016 se trouvent dans l’article « Problèmes du 14 juillet 2016 » publié sur ce blog le mardi 12 juillet 2016.  Voici toutes les solutions : 

Solutions des définitions de mots croisés :

1. MEULE
Michel Laclos : « A du foin dans ses bottes » (5 lettres)

2. EMASCULATION
Michel Laclos : « Opération boursière catastrophique » (12 lettres)

3. PANSER
Michel Laclos : « Bander pour une infirmière » (6 lettres)

4. NONAGENAIRE
Robert Scipion : « Du vieux avec du neuf » (11 lettres)

5. ENA
Robert Scipion : « Fait aller au cabinet » (3 lettres)

6. THERMOMETRE
« Avec lui, les ennuis commencent à partir de 39-40 » (11 lettres)

Et Bonus ! MAO est la réponse à la définition proposée par un commentateur :
Robert Scipion : « Jaune à l’extérieur, rouge à l’intérieur » (3 lettres)
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PREMIER PROBLEME : Périmètres

Solutions : Les figures ont toutes les deux un périmètre de 44 cm.

Le cas de ce difficile problème de périmètres a été repris dans un article de L’Express daté du 16 juin 2016, à la suite d’une première publication dans le Manchester Evening News du 7 juin 2016.
On rappelle que tous les angles sont droits. Ceci permet de déduire que dans la Figure 1 ci-contre (cliquer pour agrandir) la somme des longueurs en vert vaut la longueur en noir et que la somme des longueurs en bleu vaut la longueur en rouge. Même remarque pour la Figure 2.

En suivant les indications colorées des schémas ci-dessus, on conclut donc que la Figure 1 (figure du haut) a pour périmètre :
P1 = 12 + 10 + 12 + 10 = 44 cm.
De même, pour la Figure 2 (du bas), on a :
P2 = 9 +11 + 9 + 11 + 2 + 2 = 44 cm.
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.DEUXIEME PROBLEME : Suite de chiffres

Solution : La place N° 2001 est occupée par le chiffre 5.

• Démonstration : On peut commencer par remarquer que les nombres de 1 à 9 se répètent chacun par autant de chiffres que leur valeur, tandis que les nombres de 10 à 99 se répètent par autant de chiffres que le double de leur valeur : 3 est représenté par 3 chiffres 3 tandis que 12 est représenté par 2 x 12 = 24 chiffres 1 et 2 alternés. 99 est représenté par 198 chiffres 9.

Quand on arrive à la fin des répétitions du nombre 99, on a déjà écrit environ 9801 chiffres (petit calcul de coin de table : 99 x 99 *) donc la 2001^ème place correspond à un nombre inférieur à 99.

En appliquant la formule de la somme des n premiers entiers (n(n+1)/2) à 9, on calcule que les nombres de 1 à 9 occupent au total 9x(9+1)/2 = 45 places.

Les entiers de 10 à n (n ≤ 99) occupent un nombre de places égal à :
2 x (somme de 10 à n)
= 2 x ((somme de 1 à n) – (somme de 1 à 9))
= 2 x (n(n+1)/2 – 45)
= n(n+1) – 90.

Les entiers de 1 à n (10 ≤ n ≤ 99) occupent n(n+1) – 90 + 45 places soit : n(n+1) – 45 places.

Résolvons l’équation : n(n+1) – 45 = 2001.
C’est équivalent à n² + n – 45 = 2001 soit n² + n – 2046 = 0.
C’est une équation du second degré.
Pour la résoudre, il faut calculer son « discriminant » Δ = b² – 4ac.

Δ = 1- (4 x 1 x -2046) = 8185
Solution 1 = (-1 – √8185)/2 = résultat négatif qui ne nous intéresse pas.
Solution 2 = (-1 + √8185)/2 = 44,735  (formule : (- b + √Δ)/2a)

Voyons ce que donnent 44 et 45 :

Pour écrire la suite jusqu’au nombre 44 inclus, il faut 44 x 45 – 45 = 1935 chiffres.
Pour écrire la suite jusqu’au nombre 45 inclus, il faut 45 x 46 – 45 = 2025 chiffres.

La 2001^ème place se trouve donc dans la portion où l’on répète le nombre 45. Il reste à déterminer si cette place est occupée par un 4 ou un 5.

La place 1936 va être occupé par un 4, la place 1937 par un 5, la  place 1938 par un 4, la place 1939 par un 5, etc… Plus généralement, il y aura un 4 à une place paire et un 5 à une place impaire, donc notre mystérieuse place N° 2001 sera occupée par un 5.

• Vérification avec un tableau Excel : Après avoir fini tous mes calculs, je me suis dit que j’allais vérifier tout ça dans un joli petit tableau Excel (voir tableau ci-contre). Quel bonheur, on trouve le même résultat !

* ^{Approximation pas trop mauvaise : d’après le tableur Excel et d’après la formule « n(n+1) – 45 », pour écrire la suite jusqu’au nombre 99 inclus, il faut 9855 places. On peut aussi remarquer que pour 45, l’approximation « n fois n » est égale à n(n+1) – 45 et donne donc le résultat exact : 2025.}
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TROISIEME PROBLEME : 

Solution : J’ai 40 ans et tu as 30 ans.

Aujourd’hui mon âge est X et ton âge est Y. Je suis plus âgée que toi car je parle de l’époque future où tu auras l’âge que j’ai aujourd’hui.

Quand j’avais ton âge d’aujourd’hui, ton âge était y et mon âge était x = Y.

Quand tu auras mon âge d’aujourd’hui, ton âge sera Y₀ = X et mon âge sera X₀. L’écart entre nos âges est constant : X – Y = x – y = X₀ – Y₀ = e. Voir le positionnement de y, x, Y, X, Y₀ et X₀ sur le schéma ci-dessus (cliquer pour agrandir).

• « J’ai deux fois l’âge que tu avais quand j’avais l’âge que tu as aujourd’hui. »
Donc on a X = 2y
Or y = X – 2e donc X = 2(X -2e) = 2X – 4e, ce qui donne X = 4e.
Comme e = X – Y, on a : X = 4(X -Y) soit 3X – 4Y = 0.

• « Quand tu auras l’âge que j’ai aujourd’hui, la somme de nos deux âges sera 90 ans. »
Donc on a : X₀ + Y₀ = 90
Comme Y₀ = X, on a X + X₀ = 90
et comme X₀ = Y₀ + e = X + e, on a finalement : X + X + e = 90 soit 2X + e = 90
c’est-à-dire X =  (90 – e)/2
Comme e = X – Y, on obtient finalement : X = (90 – X + Y)/2, soit 3X – Y = 90.

• On obtient ainsi un système de deux équations du premier degré à deux inconnues :
3X – 4Y = 0  et  3X – Y = 90
De la seconde, on déduit que Y = 3X – 90.
On remplace Y par cette formule dans la première équation :
3X – 4(3X – 90) = 0, ce qui est équivalent à : 3X – 12X + 360 = 0, soit X = 360/9 = 40.
On remplace X par 40 pour trouver Y : Y = 3 * 40 – 90 = 120 – 90 = 30

On peut vérifier que les réponses X = 40 et Y = 30 sont bien cohérentes avec l’énoncé.
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QUATRIEME PROBLEME : Cocktails

Solution :
Il y a autant de liquide A dans le Verre 2 que de liquide B dans le Verre 1.

• Comme les volumes contenus dans chaque verre sont identiques au début et à la fin de l’expérience, tout volume du liquide B contenu dans le Verre 1 correspond forcément au même volume de liquide A contenu dans le Verre 2.

Volume contenu dans chaque verre à la fin de l’expérience :
0. Initialement, les Verres 1 et 2 contiennent chacun un même volume X.
1. Après la première manipulation, le Verre 2 contient une volume de X – C et le Verre 1 un volume de X + C.
2. Après la seconde manipulation, le Verre 2 contient un volume de X – C + C = X et le verre 1 un volume de X + C – C = X.

Quantité de liquides A et B dans chaque verre :
Le volume de liquide A étant de X au total et le volume de liquide B étant aussi de X au total, s’il y a un volume x de liquide A dans le Verre 2, le volume de liquide B dans le Verre 2 sera de X – x.
Le reste de liquide B se trouve dans le Verre 1 et son volume vaut forcément :
X – (X – x) = X – X + x = x, soit le même volume que le liquide A dans le Verre 2.

• Autre démonstration :

Situation initiale :
Il y a X volume du liquide A et 0 volume du liquide B dans le Verre 1.
Il y a 0 volume du liquide A et X volume du liquide B dans le verre 2.

Première manipulation :
Soit C le volume de liquide B du Verre 2 versé dans le Verre 1.
Il y a X volume du liquide A et C volume du liquide B dans le Verre 1.
Il y a 0 volume du liquide A et X – C volume du liquide B dans le verre 2.

Seconde manipulation :
Le volume du mélange des liquides A et B prélevé dans le Verre 1 et reversé dans le Verre 2 est à nouveau C. Dans ce volume C, appelons b le volume du liquide B. Le volume du liquide A est donc de C – b.
Il y a X – C + b volume du liquide A et C – b volume du liquide B dans le Verre 1.
Il y a C – b volume du liquide A et X – C + b volume du liquide B dans le verre 2.

Le volume du liquide A dans le Verre 2 (C – b) est donc identique au volume du liquide B dans le verre 1 (cliquer pour agrandir le schéma ci-dessus).
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CINQUIEME PROBLEME : Allumettes

Solution : Voir les déplacements sur la photo ci-dessous.

Les emplacements initiaux des deux allumettes déplacées ont été tracés en rouge. Il suffit de faire glisser l’allumette horizontale de la moitié de sa longueur vers la gauche (photo) ou vers la droite, puis de positionner l’allumette verticale la plus à droite (ou la plus à gauche) verticalement en-bas à gauche (ou à droite).

 

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Illustration de couverture : pièces du jeu d’échecs. Photo du site internet le Palais des Echecs.