—->   Cet article a également été publié le mardi 14 juillet 2015 sur      

Les vacances, qui pour beaucoup commencent ce week-end, sont synonymes de détente et de liberté, mais elles signifient aussi parfois longs trajets en train ou en avion, attentes interminables dans les aéroports ou longs séjours un peu rasoirs sur la plage. Dans ces cas-là, il y a d’abord la solution des gazettes plus ou moins people, puis celle des cahiers de sudoku. Si l’on se sent la fibre plus littéraire, on ira volontiers vers le roman policier à suspens ou les mots croisés plein d’esprit. A ce propos, je ne résiste pas au plaisir de rappeler quelques définitions aussi célèbres qu’astucieuses :

Tristan Bernard :« Remplit les lavabos et vide les baignoires » (huit lettres)
Robert Scipion : « Tube de rouge » (quatorze lettres)
Michel Laclos : « Gare à la peinture » (cinq lettres)
Michel Laclos : « Des maîtresses pas toujours chéries » (treize lettres)
Et ma préférée :
Michel Laclos : « Une bonne partie du Finistère » (neuf lettres)

Si l’on se sent d’humeur à la fois batailleuse et badine, on lira avec originalité et « décontraction » le Petit traité d’anti-écologie de h16. Et si, en plus, on aime les chiffres et les défis logiques, un monde d’énigmes et de casse-têtes nous tend les bras. En voici cinq, complétés par la présentation d’un problème de probabilité très connu et toujours très discuté car fortement contre-intuitif. Toutes les réponses seront données le samedi 18 juillet. 

PREMIERE ENIGME : Pièces de monnaie

100 pièces de monnaie sont posées les unes à côté des autres sur une table. Les conditions sont telles que vous ne pouvez pas les voir et que vous ne pouvez pas reconnaître au toucher si elles présentent le côté Pile ou le côté Face. Parmi ces 100 pièces, vous savez que 10 montrent le côté Pile et 90 montrent le côté Face, mais vous ne savez pas lesquelles.

On vous demande de prélever à l’aveuglette parmi les 100 pièces le nombre x de pièces qui permettra de créer in fine un second lot qui comportera autant de pièces présentant le côté Pile que le premier lot, lequel sera donc diminué de x pièces. Le total de pièces présentes sur la table reste 100.

Questions : Comment procéder et combien vaut x ?
Remarque : Toutes les manipulations sont possibles (plonger les pièces dans l’huile bouillante, les peindre en rouge, etc…) sauf, comme je l’ai dit, reconnaître la qualité Pile ou Face des 100 pièces de la situation initiale par la vue ou le toucher.

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DEUXIEME ENIGME : Bouteille

Voici une bouteille de Loupiac de forme classique : le fond est légèrement bombé vers l’intérieur et le col dans lequel s’insère le bouchon est progressivement plus étroit que le corps de la bouteille. Sa contenance du fond jusqu’à la base du bouchon est de 760 ml et sa hauteur de la surface de la table à la base du bouchon est de 27 cm. Le diamètre intérieur du cylindre formant le corps est de 7 cm. On néglige l’épaisseur du verre.

Comme on vient tout juste de prendre l’apéro, la bouteille n’est plus très pleine. Posée normalement sur la table, la hauteur de liquide restant en partant du fond est de 14 cm. Si on la retourne, c’est-à-dire si on la pose sur le bouchon, la hauteur de vin restant à partir de la base du bouchon est de 19 cm, comme le montre le schéma ci-contre.

Question : Quel est le volume de Loupiac restant dans la bouteille ? Donner le résultat en ml, arrondi au centième.
Remarque : une calculette peut être utile, sauf si on sait multiplier π de tête avec n’importe quel nombre.

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TROISIEME ENIGME : Les âges des trois filles

Arnaud Montebourg rencontre son ami Dodo la Finance qu’il n’a pas vu depuis longtemps. Celui-ci lui annonce qu’il a maintenant trois filles. Faisant preuve d’un intérêt poli, Arnaud lui demande leurs âges respectifs. Dodo répond que le produit des trois âges est égal à 36.

Arnaud, toujours très fort en calcul, on a vu ça quand il était ministre, rétorque immédiatement que cette information ne lui permet pas de déterminer les âges des trois filles. Dodo ajoute alors que la somme des trois âges est égale au numéro de la maison d’en face.

Jetant un rapide coup d’oeil au numéro en question et calculant à toute vitesse dans sa tête, Arnaud persiste à dire qu’il manque d’information. Dodo lui précise que l’aînée a les yeux bleus. Et d’un seul coup, tout devient clair pour Arnaud.

Question : Quels sont les âges des trois filles de Dodo la Finance ?
Remarque : Contrairement à ce que la présence d’Arnaud Montebourg pourrait laisser croire, ce problème n’est pas aussi farfelu qu’il en a l’air. Indice : exploiter les informations les unes après les autres.

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QUATRIEME ENIGME : Le paradoxe de la deuxième fille

Dans la famille d’Arnaud Montebourg, il y a deux enfants. La lecture de Paris Match vous apprend que l’un est une fille.

Question : quelle est la probabilité que l’autre soit aussi une fille ?
Indice : Paris Match n’a pas dit que cette fille était l’aînée.

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CINQUIEME ENIGME : Devinette pour aller au paradis

Vous êtes face à deux portes. L’une s’ouvre sur l’enfer et l’autre sur le paradis, mais vous ne savez pas laquelle mène au paradis et laquelle mène à l’enfer.

Deux hommes sont présents à côté de ces portes. L’un est toujours menteur, l’autre dit toujours la vérité. Mais vous ne savez pas lequel est menteur et lequel dit toujours la vérité.

Vous ne pouvez poser qu’une seule et même question aux deux hommes pour savoir quelle porte prendre pour aller au paradis.

Question : Quelle est cette question ?
Remarque : Une seule question, la même à chacun des deux hommes.

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+ CASSE-TETE : Las Vegas 21 ou le problème de Monty Hall

Las Vegas 21 est un film de Robert Luketic dans lequel Ben (Jim Sturgess), un étudiant du MIT extrêmement doué pour les mathématiques, est repéré par son professeur (Kevin Spacey) après avoir résolu avec succès le délicat problème de probabilité connu sous le nom de Monty Hall. Suite à cela, il va intégrer l’équipe de blackjack montée par le professeur avec d’autres élèves très brillants afin de gagner la somme d’argent nécessaire pour payer sa scolarité.

Dans la vidéo ci-dessous (01′ 58″) voici l’exposé du problème de Monty Hall tel que présenté dans le film par Kevin Spacey, ainsi que la bonne réponse :

Ce problème reprend un jeu télévisé qui était animé par un certain Monty Hall, d’où son nom. Ben est confronté à trois portes, qu’on nommera portes 1, 2 et 3. Il doit en choisir une parmi elles. Il sait que derrière l’une des portes se trouve une Ferrari, et que derrière chacune des deux autres se trouve une chèvre.

A ce moment du jeu, la probabilité que la Ferrari se trouve derrière la porte 1, ou derrière la porte 2, ou derrière la porte 3 est égale dans les trois cas à 1/3. Mettons que Ben choisisse la porte 1. Jusque là tout va bien.

Mais à ce point du jeu, l’animateur, qui sait exactement où sont les chèvres et où est la Ferrari, ouvre la porte 3 dans le cadre de laquelle on découvre une chèvre. On en déduit que la Ferrari se trouve derrière la porte 1 ou la porte 2, et idem pour la deuxième chèvre. L’animateur demande alors à Ben s’il désire modifier son choix.

Dans l’extrait de Las Vegas 21 ci-dessus, Ben répond qu’il veut changer de porte. Le professeur le met en garde : comme l’animateur sait où est la Ferrari, sa question sur la possibilité de changer de choix vise peut-être à influencer le candidat pour qu’il perde. Ben répond que son changement de choix est uniquement motivé par les probabilités. Alors qu’il avait 1/3 de chance de gagner la Ferrari quand il a choisi la porte 1 en début de jeu, il a maintenant 2/3 de chance de la gagner en changeant de choix, et en allant donc vers la porte 2.

Question : Pourquoi ? Expliquez le raisonnement de Ben.
Important : Le présentateur connait exactement la disposition derrière les portes. Il n’ouvre pas les portes au hasard. Il n’ouvre pas la porte choisie initialement par Ben et il ouvre forcément une porte montrant une chèvre.

La réaction intuitive consiste à dire que maintenant que l’animateur a ouvert la porte 3 montrant une chèvre, il y a autant de chance que la Ferrari soit derrière la porte 1 que derrière la porte 2. Un changement de choix n’améliore donc pas la situation du candidat dont les chances de gain sont de 1/2. C’est la solution qui m’est venue d’abord à l’esprit, mais elle est inexacte.

Le bon résultat, contre-intuitif mais confirmé par de nombreux tirages par ordinateur, correspond à une probabilité de Bayes (probabilité d’un événement sachant que …) et considère que si on ne change pas de porte, on garde la probabilité initiale de gagner la Ferrari, soit 1/3, tandis que si l’on décide de changer de porte, on atteint la probabilité de 1 – 1/3 = 2/3.

Une part importante de la controverse de Monty Hall résulte de la façon de poser le problème en spécifiant plus ou moins bien les choix possibles du présentateur lorsqu’il ouvre une porte montrant une chèvre. L’ensemble des thèses qui s’affrontent sont exposées dans cet article de Wikipédia. Je vous laisse méditer. Bon 14 juillet à tous !

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Réponses : Ici.

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Illustration de couverture : pièces du jeu d’échecs. Photo du site internet le Palais des Echecs.